2021-新高考I卷-01 单-集合运算

本题导读

本题考查集合的交集运算，以及连续区间的表示与判定。

📌【题干】

Question

（2021年新高考I卷）设集合 $A=\{x\mid -2<x<4\}$，$B=\{2,3,4,5\}$，则 $A\cap B=$（ ）

A. $\{2\}$　　　　　B. $\{2,3\}$　　　　　C. $\{3,4\}$　　　　　D. $\{2,3,4\}$

🔍【思路分析】

破题导航

本题求连续区间与离散集合的交集。

1. 分析集合 $A$：集合 $A$ 是一个开区间 $(-2,4)$，包含所有大于 $-2$ 且小于 $4$ 的实数。注意：不包含端点 $-2$ 和 $4$。
2. 筛选集合 $B$：遍历集合 $B$ 中的每一个元素，检查它们是否落在区间 $(-2,4)$ 之内。
3. 确定交集：将所有符合条件的元素放入结果集。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：明确集合 $A$ 的范围约束 集合 $A=\{x\mid -2<x<4\}$。这意味着任何属于 $A$ 的元素 $x$ 必须满足 $-2<x$ 且 $x<4$。

第二步：逐一验证集合 $B$ 中的元素 已知 $B=\{2,3,4,5\}$，我们依次代入 $A$ 的范围条件：

• 对于元素 $2$：$-2<2<4$ 成立，所以 $2\in A$；
• 对于元素 $3$：$-2<3<4$ 成立，所以 $3\in A$；
• 对于元素 $4$：$-2<4<4$ 不成立（$4$ 不小于 $4$），所以 $4\notin A$；
• 对于元素 $5$：$5>4$ 不成立，所以 $5\notin A$。

第三步：得出结论 同时属于集合 $A$ 和集合 $B$ 的公共元素只有 $2$ 和 $3$。 因此，$A\cap B=\{2,3\}$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心法则：交集运算（$\cap$）的本质是“取公共部分”。处理“区间 $\cap$ 离散集”时，最稳健的方法是元素筛选法。
2. 易错陷阱——端点开口：在处理不等式时，务必看清是“$<$”还是“$⩽$”。

• 若题目中 $A=\{x\mid -2<x⩽4\}$，则答案会变为 $\{2,3,4\}$（对应选项 D）。
• 本题中由于是开区间，元素 $4$ 必须排除。

3. 符号识别：熟练区分列举法 $\{a,b,c\}$ 与描述法 $\{x\mid P(x)\}$。前者只代表孤立的点，后者通常代表一段连续的范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目要求求 $A\cup B$（并集），结果是什么？ (提示：并集是所有元素的合并。结果应表示为 $\{x\mid -2<x<4\text{ 或 }x=5\}$，注意 $4$ 虽然不在 $A$ 中，但因为在 $B$ 中，所以也会被包含在并集中。)
• 方法拓展：对于复杂的集合运算（如涉及三个集合或含有绝对值不等式），数轴法是防止出错的最强辅助工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2009-陕西卷理-01
• 2011-辽宁卷文-01 单-集合交集
• 1986-全国理-18 解-对数不等式的求解