本题导读
本题考查统计数据的数字特征，以及数据的线性变换对数字特征的影响。
📌【题干】
Question
（2021年新高考I卷）有一组样本数据 ，由这组数据得到新样本数据 ，其中 ， 为非零常数，则（ ）
A. 两组样本数据的样本平均数相同
B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同
D. 两组样本数据的样本极差相同
🔍【思路分析】
破题导航
- 识别变换性质：新数据 是由原数据 整体加上一个非零常数 得到的。在数轴上，这表现为所有样本点整体向左或向右平移了 个单位，而样本点之间的相对距离保持不变。
- 分析“位置”特征（均值、中位数）：这类指标反映数据的“重心”或“中心位置”。当数据整体平移时，重心也会随之平移。
- 分析“波动”特征（标准差、极差）：这类指标反映数据的“疏密程度”或“离散大小”。由于平移不改变点与点之间的间距，因此波动指标保持恒定。
✅【答案】
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正确选项为 CD
✍【详细解析】
Abstract
第一步：判定 A 选项（平均数） 设原数据的平均数为 。 新数据的平均数为： 由于 是非零常数，所以 。故 A 错误。
第二步：判定 B 选项（中位数） 中位数是将数据按大小顺序排列后处于中间位置的数。 由于每个数据都加上了相同的 ，所有数据的相对大小顺序（排名）不发生变化。 若原中位数为 ，则新中位数 。 由于 ，所以 。故 B 错误。
第三步：判定 C 选项（标准差） 标准差反映的是数据相对于平均数的离散程度。 设原数据的方差为 。新数据的方差为： 方差相等，则其算术平方根（标准差）也必然相等：。故 C 正确。
第四步：判定 D 选项（极差） 极差等于最大值与最小值的差。 设原数据的最大值为 ，最小值为 ，则极差 。 新数据的极差 。 极差保持不变。故 D 正确。
综上所述，正确选项为 CD。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心规律——线性变换 对数字特征的影响：
- 均值、中位数、众数（反映位置）：新值 。
- 极差、标准差（反映波动）：新值 （与 无关）。
- 方差（反映波动平方）：新值 。
- 直观理解：平移变换（）就像把一把尺子整体挪动，尺子上的刻度数值变了（均值变了），但刻度之间的间距没变（极差、标准差不变）。
- 避坑指南：注意题目中的“非零常数”限制。如果 可以为 0，则 A、B 也会变成正确选项。在处理多选题时，必须对题目中的限制性词汇保持敏感。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 方法拓展：如果在考场上记不清公式，可以用特殊值法快速验证。取一组简单数据 （均值 2，极差 2）和平移后的数据 （均值 12，极差 2），结论立现。
- 变式思考：如果变换改为 ，哪些特征会改变？ (提示：均值、中位数都会变为原来的 2 倍加 1；极差和标准差会变为原来的 2 倍；方差会变为原来的 4 倍。)
🔗【关联脉络】
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