2015-安徽卷理-06 单-标准差方差

本题导读

本题考查样本数据线性变换后的标准差计算。重点在于理解当原始数据 $x_i$ 变为 $a{x}_i+b$ 时，其方差变为原来的 $a^2$ 倍，而标准差变为原来的 $|a|$ 倍。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(理)） 若样本数据 $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ 的标准差为 $8$，则数据 $2x_1-1,2x_2-1,\dots ,2x_{10}-1$ 的标准差为 ()

A. 8　　　　　　　B. 15　　　　　　　C. 16　　　　　　　D. 32

🔍【思路分析】

破题导航

1. 回顾方差/标准差性质： 设原数据 $X$ 的方差为 $D(X)$，标准差为 $\sigma (X)$。 若新数据 $Y=aX+b$，则：
   • 方差关系：$D(aX+b)=a^{2}D(X)$
   • 标准差关系：$\sigma (aX+b)=|a|\sigma (X)$
2. 识别参数：在本题中，新数据是对原数据进行了 $y=2x-1$ 的变换，故 $a=2$，$b=-1$。
3. 代入计算：已知原标准差 $\sigma (X)=8$，直接套用线性变换公式求出新标准差。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析数据的线性变换 新数据系列可以表示为 $y_i=2x_i-1$。 这意味着每个数据先扩大为原来的 $2$ 倍，再统一减去 $1$。

第二步：应用标准差性质 根据标准差的性质，数据整体加减一个常数（平移）不会改变数据的离散程度（标准差不变）； 数据乘以一个常数 $a$，标准差会随之变为原来的 $|a|$ 倍。

第三步：计算结果 新标准差 ${\sigma }_{new}=|2|\times {\sigma }_{old}$ ${\sigma }_{new}=2\times 8=16$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心性质总结： 对于数据 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 变为 $a{x}_1+b,a{x}_2+b,\dots ,a{x}_n+b$：
   • 均值：$\bar{y}=a\bar{x}+b$ （平移且缩放）
   • 方差：$s_y^2=a^2{s}_x^2$ （仅受缩放系数 $a$ 的平方影响）
   • 标准差：$s_y=|a|s_x$ （仅受缩放系数 $a$ 的绝对值影响）
2. 易错点提醒：
   • 很多同学会误选 D ($32$)，是因为混淆了方差（$a^2$）与标准差（$|a|$）的倍数关系。
   • 还有同学会考虑后面的 $-1$，实际上标准差反映的是波动的幅度，整体平移并不改变波动大小。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：若已知原数据的方差为 $64$，求新数据的方差？ (提示：$D_{new}=2^2\times 64=256$。)
• 能力提升：理解为什么标准差不受 $b$ 的影响？从定义上看，$s^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$，当每个 $x_i$ 和 $\bar{x}$ 同时加上 $b$ 时，差值 $(x_i+b)-(\bar{x}+b)$ 保持不变。

🔗【关联脉络】

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C

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