2021-新高考I卷-10 多-向量与三角

本题导读

本题考查平面向量的坐标运算，以及三角恒等变换。

📌【题干】

Question

（2021年新高考I卷）已知 $O$ 为坐标原点，点 $P_1(\cos \alpha ,\sin \alpha )$，$P_2(\cos \beta ,-\sin \beta )$，$P_3(\cos (\alpha +\beta ),\sin (\alpha +\beta ))$，$A(1,0)$，则（ ）

A. $|\overrightarrow{O{P}_1}|=|\overrightarrow{O{P}_2}|$　　　　　　　　　　　　B. $|\overrightarrow{A{P}_1}|=|\overrightarrow{A{P}_2}|$

C. $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{O{P}_3}=\overrightarrow{O{P}_1}\cdot \overrightarrow{O{P}_2}$　　　　　　　　　　　D. $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{O{P}_1}=\overrightarrow{O{P}_2}\cdot \overrightarrow{O{P}_3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 向量坐标化：由点的坐标直接写出向量 $\overrightarrow{O{P}_1},\overrightarrow{O{P}_2},\overrightarrow{O{P}_3},\overrightarrow{OA}$ 的坐标表示。
2. 模长计算（A、B项）：利用向量模长公式 $|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$。对于 A 选项，利用同角三角函数平方关系即可判定；对于 B 选项，需计算两点间距离并观察是否受 $\alpha ,\beta$ 取值影响。
3. 数量积运算（C、D项）：利用数量积坐标公式 $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$ 展开等式两边。
4. 恒等变换判定：应用两角和与差的余弦公式 $\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$ 验证展开后的结果是否相等。

✅【答案】

点击查看答案

正确选项为 AC

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出基础向量坐标 根据题意，各向量坐标为： $\overrightarrow{O{P}_1}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$，$\overrightarrow{O{P}_2}=(\cos \beta ,-\sin \beta )$ $\overrightarrow{O{P}_3}=(\cos (\alpha +\beta ),\sin (\alpha +\beta ))$，$\overrightarrow{OA}=(1,0)$ $\overrightarrow{A{P}_1}=(\cos \alpha -1,\sin \alpha )$，$\overrightarrow{A{P}_2}=(\cos \beta -1,-\sin \beta )$

第二步：判定 A 选项（模长相等性） $|\overrightarrow{O{P}_1}|=\sqrt{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }=1$ $|\overrightarrow{O{P}_2}|=\sqrt{{\cos }^2\beta +(-\sin \beta {)}^2}=\sqrt{{\cos }^2\beta +{\sin }^2\beta }=1$ 所以 $|\overrightarrow{O{P}_1}|=|\overrightarrow{O{P}_2}|$。故 A 正确。

第三步：判定 B 选项（点 A 到各点距离） $|\overrightarrow{A{P}_1}|=\sqrt{(\cos \alpha -1{)}^2+{\sin }^2\alpha }=\sqrt{{\cos }^2\alpha -2\cos \alpha +1+{\sin }^2\alpha }=\sqrt{2-2\cos \alpha }$ $|\overrightarrow{A{P}_2}|=\sqrt{(\cos \beta -1{)}^2+(-\sin \beta {)}^2}=\sqrt{{\cos }^2\beta -2\cos \beta +1+{\sin }^2\beta }=\sqrt{2-2\cos \beta }$ 显然，当 $\alpha \ne \pm \beta +2k\pi$ 时，$\cos \alpha \ne \cos \beta$，模长不一定相等。故 B 错误。

第四步：判定 C 选项（数量积等式一） 左边：$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{O{P}_3}=1\cdot \cos (\alpha +\beta )+0\cdot \sin (\alpha +\beta )=\cos (\alpha +\beta )$ 右边：$\overrightarrow{O{P}_1}\cdot \overrightarrow{O{P}_2}=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha (-\sin \beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ 根据余弦和角公式：$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ 左边 = 右边。故 C 正确。

第五步：判定 D 选项（数量积等式二） 左边：$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{O{P}_1}=1\cdot \cos \alpha +0\cdot \sin \alpha =\cos \alpha$ 右边：$\overrightarrow{O{P}_2}\cdot \overrightarrow{O{P}_3}=\cos \beta \cos (\alpha +\beta )+(-\sin \beta )\sin (\alpha +\beta )$ 根据余弦和角公式的逆用（$\cos A\cos B-\sin A\sin B=\cos (A+B)$）： 右边 $=\cos [\beta +(\alpha +\beta )]=\cos (\alpha +2\beta )$ 显然 $\cos \alpha$ 不恒等于 $\cos (\alpha +2\beta )$。故 D 错误。

综上所述，正确选项为 AC。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 坐标化万能钥匙：在处理涉及单位圆上点坐标的向量问题时，“坐标化”是最高效的手段。它能将抽象的夹角、距离问题迅速转化为代数运算。
2. 几何直观理解：

• A 选项反映了单位圆上的点到原点的距离恒为 1。
• C 选项本质上是余弦和角公式的向量推导背景。

3. 细节决定成败：在处理 $P_2$ 的坐标时，注意虚部是 $-\sin \beta$。在计算 $\overrightarrow{O{P}_1}\cdot \overrightarrow{O{P}_2}$ 时，负号的引入是判定 C 选项正确的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：C 选项其实具有明确的物理/几何意义。若令 $\vec{a}$ 与 $x$ 轴夹角为 $\alpha$，$\vec{b}$ 与 $x$ 轴夹角为 $-\beta$，则两向量的夹角为 $\alpha -(-\beta )=\alpha +\beta$。由于是单位向量，它们的数量积即为夹角的余弦值，即 $\cos (\alpha +\beta )$。
• 变式思考：如果将 $P_2$ 改为 $(\cos \beta ,\sin \beta )$，那么 $\overrightarrow{O{P}_1}\cdot \overrightarrow{O{P}_2}$ 会等于什么？ (提示：此时数量积变为 $\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta =\cos (\alpha -\beta )$，对应余弦差角公式。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2002-北京卷理-08 单-三角恒等变换
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算