2021-新高考I卷-11 多-直线与圆

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式。

📌【题干】

Question

（2021年新高考I卷）已知点 $P$ 在圆 $C:(x-5{)}^2+(y-5{)}^2=16$ 上，点 $A(4,0)$，$B(0,2)$，则（ ）

A. 点 $P$ 到直线 $AB$ 的距离小于 10

B. 点 $P$ 到直线 $AB$ 的距离大于 2

C. 当 $\angle PBA$ 最小时，$|PB|=3\sqrt{2}$

D. 当 $\angle PBA$ 最大时，$|PB|=3\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 直线与距离判定（A、B项）：首先建立直线 $AB$ 的方程，利用点到直线距离公式求出圆心 $C$ 到直线 $AB$ 的距离 $d$。圆上动点 $P$ 到直线的距离 $h$ 的取值范围是 $[d-R,d+R]$，据此判断。
2. 角度最值判定（C、D项）：由于点 $B$ 和直线 $BA$ 是确定的，$\angle PBA$ 的大小取决于射线 $BP$ 的方向。当射线 $BP$ 与圆相切时，$\angle PBA$ 达到旋转的极限位置，即取得最大值或最小值。
3. 几何计算：在由切线、半径和连心线构成的直角三角形中，利用勾股定理求出切线长 $|PB|$。

✅【答案】

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正确选项为 ACD

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定直线 AB 的方程及圆心距离 已知 $A(4,0),B(0,2)$，由截距式得直线 $AB$ 方程： $\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1⟹x+2y-4=0$ 圆 $C$ 的圆心为 $C(5,5)$，半径 $R=4$。 计算圆心 $C$ 到直线 $AB$ 的距离 $d$： $d=\frac{|5+2(5)-4|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{11}{\sqrt{5}}=\frac{11\sqrt{5}}{5}$ 因为 $2<\sqrt{5}<2.5$，所以 $4.4<d<5.5$。

第二步：判定 A、B 选项（距离范围） 点 $P$ 到直线 $AB$ 的距离 $h$ 的范围为 $[d-4,d+4]$。

• A 选项：最大距离 $h_{\max }=d+4<5.5+4=9.5<10$。故 A 正确。
• B 选项：最小距离 $h_{\min }=d-4<5.5-4=1.5$。显然存在距离小于 2 的情况。故 B 错误。

第三步：判定 C、D 选项（角度与切线） 设射线 $BA$ 为基准线。当点 $P$ 在圆上运动时，要使 $\angle PBA$ 取得最大或最小值，直线 $BP$ 必须与圆相切。 此时，连接 $CP$，则 $CP\perp BP$，即 $△BPC$ 是以 $P$ 为直角顶点的直角三角形。

第四步：计算切线长 在 $Rt△BPC$ 中：

• 半径 $|CP|=R=4$；
• 连心线 $|BC|=\sqrt{(5-0{)}^2+(5-2{)}^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$； 根据勾股定理： $|PB|=\sqrt{|BC{|}^2-|CP{|}^2}=\sqrt{34-16}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。 由于最大角和最小角均在切线位置取得，此时的 $|PB|$ 均为切线长。 故 C 正确，D 正确。

综上所述，正确选项为 ACD。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心模型：

• 距离最值：圆上点到直线距离的最大/最小值为 $d\pm R$。
• 角度最值：过圆外一点对圆上动点连线形成的夹角，其极值一定在切线位置取得。

2. 几何直观：在处理解析几何多选题时，草图的准确性非常重要。通过观察圆心与直线的相对位置，可以快速排除明显的错误选项。
3. 避坑指南：B 选项是陷阱，考生容易直觉认为距离都很大，但通过精确计算 $d=2.2\sqrt{5}\approx 4.9$ 可知 $d-R\approx 0.9$，远小于 2。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：如果点 $B$ 在圆内，$\angle PBA$ 是否存在最大值和最小值？ (提示：若点 $B$ 在圆内，射线 $BP$ 可以旋转一周，$360^{\circ }$ 范围内角度连续变化，情况与圆外点完全不同。)
• 能力提升：若要求 $\angle PBA$ 的最大值 $\theta$，可以先求 $\sin \angle PBC=\frac{R}{|BC|}=\frac{4}{\sqrt{34}}$，再利用向量或斜率公式求出直线 $BC$ 与 $BA$ 的夹角，进行加减运算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷文-04 单-圆最短距离
• 2014-大纲卷理-15 填-切线
• 2014-江苏卷-09 填-弦长问题