2021-新高考I卷-18 解-概率综合

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列。核心在于分布列法、期望比较法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年新高考I卷）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分． 已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．

（1）若小明先回答 A 类问题，记 $X$ 为小明的累计得分，求 $X$ 的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析得分取值（第1问）：根据“答错即停”的规则，若先答 A 类题：

• 第一题错：得 0 分。
• 第一题对、第二题错：得 $20+0=20$ 分。
• 第一题对、第二题对：得 $20+80=100$ 分。

2. 计算概率（第1问）：利用独立事件概率乘法公式，分别计算 $P(X=0),P(X=20),P(X=100)$。
3. 期望决策（第2问）：

• 计算先答 A 类题的期望 $E(X)$。
• 仿照第1问，计算先答 B 类题的得分分布及期望 $E(Y)$。
• 比较 $E(X)$ 与 $E(Y)$ 的大小，得出最优决策。

✅【答案】

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(1) $X$ 的分布列为 $P(X=0)=0.2$，$P(X=20)=0.32$，$P(X=100)=0.48$

(2) 小明应选择先回答 B 类问题，此时期望 $E(Y)=57.6>54.4=E(X)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求先回答 A 类问题时 $X$ 的分布列 根据竞赛规则，小明先回答 A 类问题，得分 $X$ 的所有可能取值为 $0,20,100$。

• $X=0$ 对应事件：第一道 A 类题回答错误。 $P(X=0)=1-0.8=0.2$。

• $X=20$ 对应事件：第一道 A 类题回答正确，第二道 B 类题回答错误。 $P(X=20)=0.8\times (1-0.6)=0.8\times 0.4=0.32$。

• $X=100$ 对应事件：第一道 A 类题回答正确，第二道 B 类题回答正确。 $P(X=100)=0.8\times 0.6=0.48$。

$X$ 的分布列如下表：

$X$	0	20	100
$P$	0.2	0.32	0.48

（2）决策分析 第一步：计算先回答 A 类问题的期望 $E(X)$ $E(X)=0\times 0.2+20\times 0.32+100\times 0.48=6.4+48=54.4$。

第二步：计算先回答 B 类问题的期望 $E(Y)$ 若先回答 B 类问题，设累计得分为 $Y$，则 $Y$ 的可能取值为 $0,80,100$。

• $P(Y=0)=1-0.6=0.4$；

• $P(Y=80)=0.6\times (1-0.8)=0.6\times 0.2=0.12$；

• $P(Y=100)=0.6\times 0.8=0.48$。

其分布列为：

$Y$	0	80	100
$P$	0.4	0.12	0.48

$E(Y)=0\times 0.4+80\times 0.12+100\times 0.48=9.6+48=57.6$。

第三步：比较得出结论 因为 $57.6>54.4$，即 $E(Y)>E(X)$。 所以，为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答 B 类问题。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 分阶段概率建模：处理“条件触发型”概率题，关键在于理清逻辑路径。本题的陷阱在于 $X=20$ 的情况，必须包含“第一题对”和“第二题错”两个步骤。
2. 期望的决策意义：数学期望代表了随机试验的“平均收益”。在涉及方案优选的题目中，计算并比较各方案的期望是标准做法。
3. 避坑指南：

• 概率和校验：写完分布列后，务必检查概率之和是否等于 1（如 $0.2+0.32+0.48=1.0$），这是防止中间计算失误的最有效手段。
• 分值权重：虽然 B 类题难度稍大（正确率 0.6 低于 A 类的 0.8），但由于其分值（80）极大，先答 B 类带来的潜在高收益拉高了整体期望。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：如果规则改为“无论第一题是否正确，都必须回答完两类问题”，两者的期望还会不同吗？ (提示：此时总期望等于各自期望之和 $E=20\times 0.8+80\times 0.6=64$，与顺序无关。本题由于存在“答错终止”的风险，才产生了顺序优化的必要。)
• 能力提升：若 A 类题正确率 $p_1$ 分值 $x_1$，B 类题正确率 $p_2$ 分值 $x_2$，先答 A 的期望为 $p_1{x}_1+p_1{p}_2{x}_2$，先答 B 的期望为 $p_2{x}_2+p_1{p}_2{x}_1$。两者比较本质上是比较 $p_1{x}_1(1-p_2)$ 与 $p_2{x}_2(1-p_1)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2014-安徽卷理-17 解-相互独立事件的概率
• 2004-全国卷I理-18 解-相互独立事件的概率乘法公式