2021-新高考I卷-19 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理及其边角转化应用。核心在于边角转化法、方程建模法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年新高考I卷）记 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$。已知 $b^2=ac$，点 $D$ 在边 $AC$ 上，$BD\sin \angle ABC=a\sin C$。

（1）证明：$BD=b$；

（2）若 $AD=2DC$，求 $\cos \angle ABC$。

🔍【思路分析】

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1. 第一问（证明 $BD=b$）：

• 观察已知等式 $BD\sin B=a\sin C$。
• 利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，将 $\sin C$ 转化为关于边长 $b,c$ 和 $\sin B$ 的表达式。
• 代入后利用已知条件 $b^2=ac$ 进行约分消项。

2. 第二问（求 $\cos B$）：

• 分段处理：将 $△ABC$ 拆分为 $△ABD$ 和 $△CBD$。
• 建立联系：利用 $AD=2DC$ 且 $AD+DC=b$ 表示出 $AD$ 和 $DC$。
• 核心方程：在两个子三角形中分别对 $\angle BDA$ 和 $\angle BDC$ 使用余弦定理。由于 $\angle BDA+\angle BDC=180^{\circ }$，其误差余弦值互为相反数（和为 0）。
• 求解比例：解出 $a,c$ 的比例关系，代入大三角形的余弦定理公式，并注意对 $\cos B$ 的取值范围进行校验。

✅【答案】

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$\cos \angle ABC=\frac{7}{12}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明：$BD=b$

1. 利用正弦定理转化：

   在 $△ABC$ 中，由正弦定理可知：$\sin C=\frac{c\sin B}{b}$．

2. 代入已知等式：

   将 $\sin C$ 代入 $BD\sin B=a\sin C$ 得：

   $BD\sin B=a\cdot \frac{c\sin B}{b}$

3. 约分化简：

   由于 $\sin B\ne 0$，两边约去 $\sin B$：

   $BD=\frac{ac}{b}$

4. 结合已知边长关系：

   已知 $b^2=ac$，则 $ac=b^2$．

   代入上式得：$BD=\frac{b^2}{b}=b$．

   故得证：$BD=b$．

   解法二： 证明：由正弦定理知，

\begin{align} & \frac{b}{\sin \angle ABC}=\frac{c}{\sin C},\therefore b\sin C=c\sin \angle ABC,\\&\because {{b}^{2}}=ac,\therefore b\sin C=\frac{{{b}^{2}}}{a}\sin \angle ABC,\\&\therefore a\sin C=b\sin \angle ABC=BD\sin \angle ABC,\\& \therefore BD=b.\\\end{align}

（2）求 $\cos \angle ABC$

6. 表示各线段长度：

   由（1）知 $BD=b$．

   因为 $AD=2DC$ 且 $AD+DC=AC=b$，

   所以 $AD=\frac{2}{3}b$，$DC=\frac{1}{3}b$．

7. 在子三角形应用余弦定理：

   • 在 $△ABD$ 中：$\cos \angle BDA=\frac{B{D}^2+A{D}^2-A{B}^2}{2BD\cdot AD}=\frac{b^2+(\frac{2}{3}b{)}^2-c^2}{2b\cdot \frac{2}{3}b}=\frac{\frac{13}{9}{b}^2-c^2}{\frac{4}{3}{b}^2}=\frac{13b^2-9c^2}{12b^2}$．

   • 在 $△CBD$ 中：$\cos \angle BDC=\frac{B{D}^2+C{D}^2-B{C}^2}{2BD\cdot CD}=\frac{b^2+(\frac{1}{3}b{)}^2-a^2}{2b\cdot \frac{1}{3}b}=\frac{\frac{10}{9}{b}^2-a^2}{\frac{2}{3}{b}^2}=\frac{10b^2-9a^2}{6b^2}$．

8. 利用互补角性质建模：

   因为 $\angle BDA+\angle BDC=\pi$，所以 $\cos \angle BDA+\cos \angle BDC=0$．

   $\frac{13b^2-9c^2}{12b^2}+\frac{10b^2-9a^2}{6b^2}=0$

   通分整理得：$13b^2-9c^2+20b^2-18a^2=0\Rightarrow 33b^2=9c^2+18a^2\Rightarrow 11b^2=3c^2+6a^2$．

9. 求解 $a,c$ 的关系：

   代入 $b^2=ac$ 得：$11ac=3c^2+6a^2$．

   整理得一元二次方程：$3c^2-11ac+6a^2=0$．

   因式分解：$(3c-2a)(c-3a)=0$．

   解得 $c=\frac{2}{3}a$ 或 $c=3a$．

10. 计算 $\cos B$ 并校验：

    在 $△ABC$ 中，$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{a^2+c^2-ac}{2ac}$．

    • 若 $c=3a$，则 $\cos B=\frac{a^2+9a^2-3a^2}{2\cdot 3a^2}=\frac{7a^2}{6a^2}=\frac{7}{6}>1$（舍去）．

    • 若 $c=\frac{2}{3}a$，则 $\cos B=\frac{a^2+\frac{4}{9}{a}^2-\frac{2}{3}{a}^2}{2\cdot \frac{2}{3}{a}^2}=\frac{\frac{7}{9}{a}^2}{\frac{4}{3}{a}^2}=\frac{7}{12}$．

11. 结论：

    $\cos \angle ABC=\frac{7}{12}$．

解法二：在$△ABC$中，$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$，平方得 $B{D}^2=\frac{1}{9}{a}^2+\frac{4}{9}{c}^2+\frac{4}{9}ac\cos B$，① 由余弦定理$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$② 联立①②得$11b^2=3c^2+6a^2$， $\because b^2=ac$，$\therefore 3c^2-11ac+6a^2=0$，$\therefore c=3a$或$c=\frac{2}{3}a$， 在$\Delta ABC$中，由余弦定理知，$\cos \angle ABC=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{a^2+c^2-ac}{2ac}$， 当$c=3a$时，$\cos \angle ABC=\frac{7}{6}>1$（舍$)$；当$c=\frac{2}{3}a$时，$\cos \angle ABC=\frac{7}{12}$； 综上所述，$\cos \angle ABC=\frac{7}{12}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 互补角模型：这是解三角形中处理“线段分对边”问题的核心套路。利用 $\cos \theta =-\cos (\pi -\theta )$ 可以避开对角度的具体求解，直接建立边长间的代数联系。
2. 齐次方程的比例化：在求得 $3c^2-11ac+6a^2=0$ 后，将其视为关于 $c/a$ 的二次方程，这是解析几何和三角综合题中处理边比例的常用技巧。
3. 范围判定：在得出多个代数解时，必须回归几何背景（余弦值的定义域为 $[-1,1]$）进行合法性检查，这是保证答案准确的关键保障。
4. 避坑指南：计算余弦定理变形时，注意系数（如 $2BD\cdot AD$ 中的 $2\times 2/3$）的通分，容易在分母处理上出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 向量法尝试：第二问也可以利用向量基底法。设 $\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$，通过平方运算利用 $|\overrightarrow{BD}{|}^2=b^2$ 建立方程，这种方法无需考虑互补角，计算量可能更小。
• 变式思考：如果 $D$ 是 $AC$ 的中点（即 $AD=DC$），且满足同样的已知条件，$\cos B$ 的值会如何变化？ (提示：此时 $33b^2=18c^2+18a^2$，结合 $b^2=ac$ 进行类似计算。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2014-陕西卷文-16 解-解三角形
• 2003-上海卷理-07