2021-浙江卷-15 填-古典概型

本题导读

本题考查古典概型，以及组合计数。

📌【题干】

Question

（2021年浙江卷）15. 袋中有 $4$ 个红球，$m$ 个黄球，$n$ 个绿球。现从中任取两个球，记取出的红球数为 $\xi$。若取出的两个球都是红球的概率为 $\frac{1}{6}$，一红一黄的概率为 $\frac{1}{3}$，则 $m-n=$ $\underline{}$，$E(\xi )=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：求球的总数。 利用“两个都是红球”的概率 $P(\xi =2)$，结合组合数 $C_N^2$ 建立关于总球数 $N$ 的方程。
2. 第二步：求 $m,n$。 利用“一红一黄”的概率建立关于 $m$ 的方程，求出 $m$ 后，再结合总球数求出 $n$，进而得到 $m-n$。
3. 第三步：求期望。 确定随机变量 $\xi$ 的可能取值（$0,1,2$），分别计算对应的概率，写出分布列，最后利用公式 $E(\xi )=\sum x_i{p}_i$ 计算期望。

✍【详细解析】

Abstract

1. 求 $m,n$ 的值： 袋中球的总数为 $N=4+m+n$。从中任取两球，样本空间总数为 $C_N^2$。 已知两个都是红球的概率： $P(\xi =2)=\frac{C_4^2}{C_N^2}=\frac{6}{C_N^2}=\frac{1}{6}⟹C_N^2=36$ 由 $\frac{N(N-1)}{2}=36$ 得 $N^2-N-72=0⟹(N-9)(N+8)=0$。 因为 $N>0$，所以 $N=9$。即 $4+m+n=9⟹m+n=5$。

已知一红一黄的概率： $P(\text{一红一黄})=\frac{C_4^1\cdot C_m^1}{C_9^2}=\frac{4m}{36}=\frac{m}{9}=\frac{1}{3}⟹m=3$ 代入 $m+n=5$ 得 $n=2$。 所以 $m-n=3-2=1$。

2. 求 $E(\xi )$： 随机变量 $\xi$ 的取值为 $0,1,2$。

• $P(\xi =2)=\frac{1}{6}=\frac{3}{18}$
• $P(\xi =1)=\frac{C_4^1\cdot C_5^1}{36}=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}=\frac{10}{18}$（注：非红球共有 $m+n=5$ 个）
• $P(\xi =0)=\frac{C_5^2}{36}=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$

计算期望： $E(\xi )=0\times \frac{5}{18}+1\times \frac{10}{18}+2\times \frac{3}{18}=\frac{10+6}{18}=\frac{16}{18}=\frac{8}{9}$

✅【答案】

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$1$ ； $\frac{8}{9}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 古典概型方程思维： 概率题目中如果出现未知参数（如 $m,n$），通常是利用概率公式反向构建方程。注意组合数 $C_n^2$ 的计算技巧。
• 期望计算的完整性： 计算期望前，务必检查分布列的概率之和是否为 $1$（本题中 $\frac{5}{18}+\frac{10}{18}+\frac{3}{18}=1$），这是避免计算失误的最好习惯。

本题中取出的红球数 $\xi$ 实际上服从超几何分布。 定义： 在含有 $M$ 个次品（红球）的 $N$ 个产品中，随机抽取 $n$ 个，其中含有的次品数 $X$ 服从超几何分布，记作 $X\sim H(N,M,n)$。 其概率质量函数为： $P(X=k)=\frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$ 期望公式： $E(X)=n\cdot \frac{M}{N}$ 利用此公式快速求解本题第二空： 已知总球数 $N=9$，红球数 $M=4$，抽取次数 $n=2$。 则 $E(\xi )=2\cdot \frac{4}{9}=\frac{8}{9}$。 在填空题中使用此公式可以极大提高解题速度并减少分布列计算带来的错误风险。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷理-16 解-古典概型及其概率计算公式
• 2004-全国卷II理-13 填-离散型随机变量的分布列
• 2004-湖南理-14 填-古典概型与样本空间