2014-天津卷理-16 解-古典概型及其概率计算公式

本题导读

本题考查古典概型及概率计算、离散型随机变量的分布列与期望。核心在于组合计数法与概率统计综合法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(理)） 某大学志愿者协会有 $6$ 名男同学，$4$ 名女同学. 在这 $10$ 名同学中，$3$ 名同学来自数学学院，其余 $7$ 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这 $10$ 名同学中随机选取 $3$ 名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.

(1) 求选出的 $3$ 名同学是来自互不相同学院的概率；

(2) 设 $X$ 为选出的 $3$ 名同学中女同学的人数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.

🔍【思路分析】

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1. 总样本点数为从 $10$ 人中任选 $3$ 人的组合数。
2. 第(1)问：来自互不相同学院意味着：要么 $3$ 人均来自其他学院（且学院各不相同），要么包含数学学院的 $1$ 人加其他不同学院的 $2$ 人。分类计算 favourable outcomes。
3. 第(2)问：随机变量 $X$ 的可能取值为 $0,1,2,3$，利用超几何分布分别计算其对应概率，列出分布列并求期望。

✅【答案】

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故选出的 $3$ 名同学来自互不相同学院的概率为：

✍【详细解析】

Abstract

从 $10$ 名同学中随机选取 $3$ 名同学，基本事件总数为 $N=C_{10}^3=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120$。

(1) 设“选出的 $3$ 名同学来自互不相同学院”为事件 $A$。 $10$ 名同学中，数学学院有 $3$ 名（属于同一个学院），其余 $7$ 名同学分别来自 $7$ 个不同的学院。 选出的 $3$ 名同学来自互不相同学院包含两种情况： ① $3$ 名同学全来自这 $7$ 个不同的学院，有 $C_7^3=35$ 种； ② $3$ 名同学中有一名来自数学学院，另外两名来自 $7$ 个不同学院中的不同两个学院，有 $C_3^1\times C_7^2=3\times 21=63$ 种。 因此事件 $A$ 包含的基本事件总数为 $35+63=98$ 种。 故选出的 $3$ 名同学来自互不相同学院的概率为： $P(A)=\frac{98}{120}=\frac{49}{60}$。

(2) 随机变量 $X$ 的所有可能取值为 $0,1,2,3$。 其中男同学有 $6$ 名，女同学有 $4$ 名。

• $P(X=0)=\frac{C_6^3{C}_4^0}{C_{10}^3}=\frac{20\times 1}{120}=\frac{1}{6}$；
• $P(X=1)=\frac{C_6^2{C}_4^1}{C_{10}^3}=\frac{15\times 4}{120}=\frac{1}{2}$；
• $P(X=2)=\frac{C_6^1{C}_4^2}{C_{10}^3}=\frac{6\times 6}{120}=\frac{3}{10}$；
• $P(X=3)=\frac{C_6^0{C}_4^3}{C_{10}^3}=\frac{1\times 4}{120}=\frac{1}{30}$。

随机变量 $X$ 的分布列为：

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$

数学期望为： $E(X)=0\times \frac{1}{6}+1\times \frac{1}{2}+2\times \frac{3}{10}+3\times \frac{1}{30}$ $=0+\frac{1}{2}+\frac{3}{5}+\frac{1}{10}$ $=\frac{5}{10}+\frac{6}{10}+\frac{1}{10}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}$（或 $1.2$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型、超几何分布与数学期望。

2. 核心方法：分类列举”互不相同学院”情况求概率；用超几何分布列分布列求期望。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 古典概型与超几何分布。

2. 结论推广: $P(X=k)=\frac{C_4^k{C}_6^{3-k}}{C_{10}^3}$，$E(X)=\frac{6}{5}$。

3. 方法推广: 有限样本抽选问题用组合计数与超几何分布。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-04 单-古典概型
• 2015-广东卷文-07 单-古典概型
• 2015-山东卷文-16 解-古典概型