2021-甲卷文-02 单-频率分布直方图

本题导读

本题考查频率分布直方图，以及平均数。

📌【题干】

Question

（2021年甲卷文）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（　　）

A. 该地农户家庭年收入低于 $4.5$ 万元的农户比率估计为 $6\%$

B. 该地农户家庭年收入不低于 $10.5$ 万元的农户比率估计为 $10\%$

C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 $6.5$ 万元

D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 $4.5$ 万元至 $8.5$ 万元之间

🔍【思路分析】

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1. 解读直方图数据：根据频率分布直方图的性质，各组矩形的面积等于该组数据的频率。回忆或根据原图读出各组的频率（例如区间跨度为 $2$）。

2. 逐项判定比率（A、B、D选项）：计算对应区间的频率之和，转化为百分比，验证其陈述的真实性。

3. 定性与定量分析平均数（C选项）：

   • 定性分析：观察图中数据重心的位置。如果大部分数据（超过 $50\%$）都集中在 $6.5$ 及其右侧，那么平均数必然被拉高，超过 $6.5$。

   • 定量计算：利用公式 $\bar{x}=\sum (\text{组中值}\times \text{频率})$ 进行精确估算。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

根据标准的 2021 年全国甲卷直方图原图数据，各组的组距为 $2$，各组的频率（面积）分布如下：

• $[2.5,4.5)$ 的频率为 $0.03\times 2=0.06$；

• $[4.5,6.5)$ 的频率为 $0.14\times 2=0.28$；

• $[6.5,8.5)$ 的频率为 $0.20\times 2=0.40$；

• $[8.5,10.5)$ 的频率为 $0.08\times 2=0.16$；

• $[10.5,12.5)$ 的频率为 $0.04\times 2=0.08$；

• $[12.5,14.5]$ 的频率为 $0.01\times 2=0.02$．

1. 判定 A 选项：

年收入低于 $4.5$ 万元的位于第一组 $[2.5,4.5)$，其频率为 $0.06$，即比率为 $6\%$。

故 A 选项正确。

2. 判定 B 选项：

年收入不低于 $10.5$ 万元的包含最后两组，频率之和为 $0.08+0.02=0.10$，即比率为 $10\%$。

故 B 选项正确。

3. 判定 D 选项：

年收入介于 $4.5$ 万元至 $8.5$ 万元之间的包含第二、三组，频率之和为 $0.28+0.40=0.68$。

因为 $68\%>50\%$，确实有一半以上。

故 D 选项正确。

4. 判定 C 选项：

定性判断：年收入在 $6.5$ 万元以上的频率之和为 $0.40+0.16+0.08+0.02=0.66$。既然有 $66\%$ 的农户收入超过 $6.5$ 万元，整体的平均值必定会被拉高，不可能不超过 $6.5$ 万元。

定量计算：平均值估计为各组中值与其频率的乘积之和：

$\bar{x}=3.5\times 0.06+5.5\times 0.28+7.5\times 0.40+9.5\times 0.16+11.5\times 0.08+13.5\times 0.02$

$=0.21+1.54+3.00+1.52+0.92+0.27=7.46$（万元）。

因为 $7.46>6.5$，所以平均值超过了 $6.5$ 万元。

故 C 选项不正确。

5. 结论：

题目要求选出不正确的结论，故对应选项 C 错误。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 面积即频率：在频率分布直方图中，纵坐标是 $\frac{频率}{组距}$，因此计算比率时务必要用“高度 $\times$ 组距”。

  2. 重心法估算平均数：平均数相当于直方图在底边上的“物理重心”。如果某个分界线（如 $6.5$）右侧的面积占了绝对主导（本题为 $66\%$），那么平均数一定在这个分界线的右侧，无需硬算。

• 避坑指南：

  • 看错纵坐标：千万不要直接把矩形的高度当成频率，这会导致所有比率计算偏小（如果组距大于 1）。

  • 审题陷阱：题目问的是“不正确”的结论，选出正确陈述的选项是考场上极易发生的低级失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算
• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-06 填-平均数
• 2006-重庆卷理-06 单-频数与频率的关系
• 2007-山东卷理-08 单-频率频数转化