2021-甲卷理-01 单-集合运算

本题导读

本题考查交集，以及一元一次不等式。

📌【题干】

Question

（2021年甲卷理）设集合 $M=\{x\mid 0<x<4\}$，$N=\{x\mid \frac{1}{3}⩽x⩽5\}$，则 $M\cap N=($　　$)$

A. $\{x\mid 0<x⩽\frac{1}{3}\}$　　B. $\{x\mid \frac{1}{3}⩽x<4\}$　　C. $\{x\mid 4⩽x<5\}$　　D. $\{x\mid 0<x⩽5\}$

🔍【思路分析】

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1. 识别集合的区间表示：将集合 $M$ 和 $N$ 转化为数轴上的区间表示，明确取值范围。

2. 利用数轴求交集：在数轴上同时画出两个区间，找出它们的公共部分（即重叠区域）。

3. 注意端点开闭：特别注意边界点是否包含在内（“$<$” 对应开区间，“$⩽$” 对应闭区间）。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

1. 转化为区间表示：

集合 $M=\{x\mid 0<x<4\}$，表示为开区间 $(0,4)$．

集合 $N=\{x\mid \frac{1}{3}⩽x⩽5\}$，表示为闭区间 $[\frac{1}{3},5]$．

2. 求解交集：

取这两个区间的公共部分，即求同时满足 $0<x<4$ 且 $\frac{1}{3}⩽x⩽5$ 的 $x$ 的范围。

• 左边界：取两者中较大的一个，即 $\max (0,\frac{1}{3})=\frac{1}{3}$，且能取到等号（因为 $\frac{1}{3}\in M$ 且 $\frac{1}{3}\in N$）。

• 右边界：取两者中较小的一个，即 $\min (4,5)=4$，且不能取到等号（因为 $4\notin M$）。

故交集区域为 $[\frac{1}{3},4)$．

3. 转化为集合表示：

$M\cap N=\{x\mid \frac{1}{3}⩽x<4\}$．

4. 结论：

对应选项 B 正确．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：处理连续区间的集合运算，**“画数轴”**是保证零失误的标准动作。在数轴上画出线段，重叠部分即为交集。

• 规律总结：求两个区间的交集时，左边界取两个左端点中的最大值，右边界取两个右端点中的最小值。

• 避坑指南：

  • 端点开闭：在合并区间时，交集的端点是否包含取决于该端点是否同时属于两个集合。本题中 $4\in N$ 但 $4\notin M$，因此交集不包含 $4$，右侧是不等号 $<4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷理-01 单-集合交集
• 2014-大纲卷理-02 单-集合交集
• 2014-山东卷理-02 单-集合交集