2021-甲卷理-12 单-函数性质

本题导读

本题考查奇偶性，以及周期性。

📌【题干】

Question

（2021年甲卷理）设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，$f(x+1)$ 为奇函数，$f(x+2)$ 为偶函数，当 $x\in [1,2]$ 时，$f(x)=a{x}^2+b$．若 $f(0)+f(3)=6$，则 $f(\frac{9}{2})=($　　$)$

A. $-\frac{9}{4}$　　　　　　B. $-\frac{3}{2}$　　　　　　C. $\frac{7}{4}$　　　　　　D. $\frac{5}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 翻译奇偶性为对称性：

   • $f(x+1)$ 为奇函数，说明 $f(x)$ 的图象关于点 $(1,0)$ 中心对称，且隐含 $f(1)=0$。

   • $f(x+2)$ 为偶函数，说明 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=2$ 轴对称。

2. 推导周期性：一个函数如果同时拥有一个对称中心 $(1,0)$ 和一条对称轴 $x=2$，则该函数必然是周期函数，其周期 $T=4\times |2-1|=4$。

3. 计算参数 $a,b$：

   • 利用 $f(1)=0$ 得到 $a+b=0$。

   • 利用对称性将 $f(0)$ 和 $f(3)$ 转移到已知区间 $[1,2]$ 内，结合 $f(0)+f(3)=6$ 求出参数 $a,b$。

4. 利用周期性求值：将目标值 $f(\frac{9}{2})$ 利用周期 $T=4$ 转化为 $f(\frac{1}{2})$，再利用中心对称转化为区间 $[1,2]$ 内的计算。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

1. 分析函数的对称性：

• 因为 $f(x+1)$ 是奇函数，所以 $f(-x+1)=-f(x+1)$．

  这说明原函数 $f(x)$ 关于点 $(1,0)$ 中心对称．特别地，令 $x=0$，有 $f(1)=0$．

• 因为 $f(x+2)$ 是偶函数，所以 $f(-x+2)=f(x+2)$．

  这说明原函数 $f(x)$ 关于直线 $x=2$ 轴对称．

2. 推导函数的周期性：

由中心对称知：$f(x)=-f(2-x)$ ①

由轴对称知：$f(x)=f(4-x)$ ②

综合 ① 和 ②，有 $-f(2-x)=f(4-x)$．

令 $t=2-x$，则 $-f(t)=f(t+2)$．

由此推得 $f(t+4)=-f(t+2)=-(-f(t))=f(t)$．

故函数 $f(x)$ 是以 $T=4$ 为最小正周期的周期函数．

3. 求解参数 $a$ 和 $b$：

已知当 $x\in [1,2]$ 时，$f(x)=a{x}^2+b$．

• 由 $f(1)=0$，得 $a+b=0⟹b=-a$．

• 计算 $f(0)$：利用中心对称 $f(x)=-f(2-x)$，令 $x=0$，得 $f(0)=-f(2)=-(4a+b)$．

• 计算 $f(3)$：利用轴对称 $f(x)=f(4-x)$，令 $x=3$，得 $f(3)=f(1)=0$．

已知 $f(0)+f(3)=6$，代入得：

$-(4a+b)+0=6$

因为 $b=-a$，所以 $-(4a-a)=6⟹-3a=6⟹a=-2$．

从而 $b=2$．

此时得到解析式：当 $x\in [1,2]$ 时，$f(x)=-2x^2+2$．

4. 求解目标值 $f(\frac{9}{2})$：

根据周期性 $T=4$：

$f\left(\frac{9}{2}\right)=f\left(4+\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)$

因为 $\frac{1}{2}\notin [1,2]$，我们需要利用对称性将其转化到已知区间内．

利用关于点 $(1,0)$ 的中心对称 $f(x)=-f(2-x)$，令 $x=\frac{1}{2}$：

$f\left(\frac{1}{2}\right)=-f\left(2-\frac{1}{2}\right)=-f\left(\frac{3}{2}\right)$

此时 $\frac{3}{2}\in [1,2]$，代入解析式：

$f\left(\frac{3}{2}\right)=-2{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+2=-2\times \frac{9}{4}+2=-\frac{9}{2}+\frac{4}{2}=-\frac{5}{2}$

故：

$f\left(\frac{9}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)=-\left(-\frac{5}{2}\right)=\frac{5}{2}$

5. 结论：

对应选项 D 正确．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：牢记抽象函数对称性的两个经典转化：

  1. 平移后的奇偶性直接对应原函数的对称性：$f(x+a)$ 为奇（偶） $⟺f(x)$ 关于 $(a,0)$ 中心对称（或关于 $x=a$ 轴对称）。

  2. “双对称推周期” 的二级结论：若函数既关于 $x=a$ 轴对称，又关于 $(b,0)$ 中心对称，则其周期 $T=4|a-b|$。本题中 $T=4|2-1|=4$，快速求解推导过程。

• 避坑指南：

  • 特值法风险：有些同学可能会想构造具体的三角函数来满足条件，但本题给定了在 $[1,2]$ 上是二次函数，无法用三角函数完全等效替代。

  • 区间意识：在求 $f(1/2)$ 时，必须清醒地认识到 $1/2$ 不在解析式给定的 $[1,2]$ 区间内，不能直接把 $1/2$ 强行代入 $-2x^2+2$ 中（若代入会得出 $3/2$ 的错误答案），必须通过对称性折返到 $[1,2]$ 区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-03 单-函数奇偶性
• 2013-江西卷理-21 解-对称性
• 2014-江苏卷-13 填-周期性