2021-甲卷理-14 填-向量垂直

本题导读

本题考查坐标运算，以及垂直的充要条件。

📌【题干】

Question

（2021年甲卷理）已知向量 $\vec{a}=(3,1)$，$\vec{b}=(1,0)$，$\vec{c}=\vec{a}+k\vec{b}$．若 $\vec{a}\perp \vec{c}$，则 $k=$ ________．

🔍【思路分析】

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1. 明确垂直条件：两非零向量互相垂直的充要条件是它们的数量积为 $0$，即 $\vec{a}\perp \vec{c}⟺\vec{a}\cdot \vec{c}=0$。

2. 方法一（分配律展开法）：将 $\vec{c}=\vec{a}+k\vec{b}$ 代入数量积公式，利用分配律转化为 ${\vec{a}}^2+k(\vec{a}\cdot \vec{b})=0$，分别算出 ${\vec{a}}^2$ 和 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的值后解方程。

3. 方法二（纯坐标法）：先根据坐标的线性运算算出向量 $\vec{c}$ 的坐标表达式，再利用数量积的坐标运算公式 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$ 建立方程。

✅【答案】

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$-\frac{10}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：分配律展开法（推荐）

1. 建立数量积方程：

   因为 $\vec{a}\perp \vec{c}$，所以 $\vec{a}\cdot \vec{c}=0$．

   将 $\vec{c}=\vec{a}+k\vec{b}$ 代入，得：

   $\vec{a}\cdot (\vec{a}+k\vec{b})=0$

   根据数量积的分配律展开：

   ${\vec{a}}^2+k(\vec{a}\cdot \vec{b})=0$

2. 计算基本量：

   已知 $\vec{a}=(3,1)$，$\vec{b}=(1,0)$．

   ${\vec{a}}^2=|\vec{a}{|}^2=3^2+1^2=10$．

   $\vec{a}\cdot \vec{b}=3\times 1+1\times 0=3$．

3. 求解参数 $k$：

   将基本量代入方程：

   $10+3k=0⟹3k=-10$

   解得：$k=-\frac{10}{3}$．

方法二：纯坐标运算法

4. 求出 $\vec{c}$ 的坐标：

   $\vec{c}=\vec{a}+k\vec{b}=(3,1)+k(1,0)=(3+k,1)$．

5. 利用坐标公式列方程：

   因为 $\vec{a}\perp \vec{c}$，所以 $\vec{a}\cdot \vec{c}=0$．

   代入坐标进行点乘运算：

   $3\times (3+k)+1\times 1=0$

6. 求解方程：

   9 + 3k + 1 = 0$$$$10 + 3k = 0 \implies k = -\frac{10}{3}

   ．

结论：

答案填入 $-\frac{10}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 分配律优先：在处理 $\vec{a}\cdot (m\vec{a}+n\vec{b})$ 这种内含线性组合的数量积时，先展开成模的平方和基底点积，往往比先算坐标再点乘更不易出错。

  2. 垂直必点积为零：平面向量 $\vec{x}\perp \vec{y}⟺x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$。

• 避坑指南：

  • 计算 ${\vec{a}}^2$ 时，务必记得同时对横、纵坐标进行平方求和，且 ${\vec{a}}^2=|\vec{a}{|}^2$，不要误加根号。

  • 注意移项时的正负号变化，最后的结果不要因为粗心漏掉负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算
• 2009-陕西卷文-08 单-向量中点数量积