2021-甲卷理-19 解-立几综合

本题导读

本题考查线线垂直的证明。核心在于勾股定理逆定理、空间向量坐标法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年甲卷理）已知直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，侧面 $A{A}_1{B}_{1}B$ 为正方形，$AB=BC=2$，$E,F$ 分别为 $AC$ 和 $C{C}_1$ 的中点，$D$ 为棱 $A_1{B}_1$ 上的点，$BF\perp A_1{B}_1$．

（1）证明：$BF\perp DE$；

（2）当 $B_{1}D$ 为何值时，面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 与面 $DFE$ 所成的二面角的正弦值最小？

🔍【思路分析】

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1. 第一问（寻找建系条件与垂直证明）：

   • 挖掘隐含条件：直三棱柱中侧棱垂直于底面，但底面 $△ABC$ 的形状未知。要用坐标法，必须找到三条互相垂直的线。

   • 计算边长：因为侧面 $A{A}_1{B}_{1}B$ 为正方形，所以 $B{B}_1=AB=2$。$F$ 为 $C{C}_1$ 中点，得出 $CF=1$。在 $\text{Rt}△BCF$ 中可求得 $BF$。

   • 证明底面垂直：由已知 $BF\perp A_1{B}_1$ 及平行关系推导 $BF\perp AB$，在 $\text{Rt}△ABF$ 中求出 $AF$。再在 $\text{Rt}△ACF$ 中求出 $AC$。最后在 $△ABC$ 中利用勾股定理逆定理证明 $AB\perp BC$。

   • 建系证明：以 $B$ 为原点建立空间直角坐标系，用向量数量积证明 $\overrightarrow{BF}\cdot \overrightarrow{DE}=0$。

2. 第二问（二面角最值求解）：

   • 设参数：设 $B_{1}D=m$。

   • 计算法向量：面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 恰为 $yOz$ 平面，法向量可直接选取。求出面 $DFE$ 的法向量 $\vec{n}$（含有参数 $m$）。

   • 构造目标函数：利用公式 $\cos \theta =\frac{|\vec{m}\cdot \vec{n}|}{|\vec{m}||\vec{n}|}$ 表示出二面角余弦值的绝对值。

   • 求最值：要使二面角的正弦值最小，等价于使其余弦值的绝对值最大。将分母化为关于 $m$ 的二次函数，求最小值即可。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 当 $B_{1}D=\frac{1}{2}$ 时，正弦值最小（最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$）

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明：$BF\perp DE$

证明过程

1. 利用勾股定理逆定理证明 $AB\perp BC$：

连接 $AF$．

因为 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 是直三棱柱，所以侧棱 $C{C}_1\perp$ 底面 $ABC$，且 $C{C}_1\perp BC,C{C}_1\perp AC$．

已知侧面 $A{A}_1{B}_{1}B$ 为正方形且 $AB=2$，所以侧棱长 $A{A}_1=B{B}_1=C{C}_1=2$．

因为 $F$ 为 $C{C}_1$ 的中点，所以 $CF=1$．

在 $\text{Rt}△BCF$ 中，$BC=2,CF=1$，则 $BF=\sqrt{B{C}^2+C{F}^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$．

已知 $BF\perp A_1{B}_1$，在直三棱柱中 $AB\parallel A_1{B}_1$，所以 $BF\perp AB$．

在 $\text{Rt}△ABF$ 中，$AB=2,BF=\sqrt{5}$，则 $AF=\sqrt{A{B}^2+B{F}^2}=\sqrt{2^2+(\sqrt{5}{)}^2}=3$．

在 $\text{Rt}△ACF$ 中，$CF=1,AF=3$，则 $AC=\sqrt{A{F}^2-C{F}^2}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$．

在 $△ABC$ 中，$AB=2,BC=2,AC=2\sqrt{2}$．

因为 $A{B}^2+B{C}^2=4+4=8=A{C}^2$，根据勾股定理逆定理，得出 $AB\perp BC$．

2. 建立空间直角坐标系：

既然 $BA\perp BC$ 且 $B{B}_1\perp$ 底面 $ABC$，

则以 $B$ 为原点，$BA,BC,B{B}_1$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系．

各点坐标为：

$A(2,0,0),B(0,0,0),C(0,2,0),B_1(0,0,2),A_1(2,0,2)$．

$E$ 为 $AC$ 中点，则 $E(1,1,0)$；

$F$ 为 $C{C}_1$ 中点，则 $F(0,2,1)$．

3. 向量数量积证明垂直：

设 $B_{1}D=m$（由于 $D$ 在 $A_1{B}_1$ 上且 $A_1{B}_1$ 方向同 $x$ 轴正方向，故 $D(m,0,2)$，其中 $0⩽m⩽2$）．

$\overrightarrow{BF}=(0,2,1)$，

$\overrightarrow{DE}=(1-m,1-0,0-2)=(1-m,1,-2)$．

计算数量积：

$\overrightarrow{BF}\cdot \overrightarrow{DE}=0\times (1-m)+2\times 1+1\times (-2)=2-2=0$．

因为 $\overrightarrow{BF}\cdot \overrightarrow{DE}=0$，所以 $BF\perp DE$．

（2）求二面角正弦值最小时的 $B_{1}D$

1. 确定平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 的法向量：

平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 恰好为 $yOz$ 坐标平面，由于 $BA\perp$ 平面 $B{B}_1{C}_{1}C$，

可直接取其法向量为 $\vec{m}=\overrightarrow{BA}=(2,0,0)$，为简化计算，取单位法向量 $\vec{m}=(1,0,0)$．

2. 求平面 $DFE$ 的法向量 $\vec{n}$：

已知 $\overrightarrow{DE}=(1-m,1,-2)$，$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE}=(0-1,2-1,1-0)=(-1,1,1)$．

设平面 $DFE$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$，则：

$\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{DE}=(1-m)x+y-2z=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{EF}=-x+y+z=0\end{array}$

由下式得 $x=y+z$．代入上式：

$(1-m)(y+z)+y-2z=0⟹(2-m)y+(-m-1)z=0$．

令 $y=m+1$，则 $z=2-m$．

此时 $x=(m+1)+(2-m)=3$．

故法向量为 $\vec{n}=(3,m+1,2-m)$．

3. 构造二面角的三角函数关系：

设二面角 $B_1(C)-EF-D$ 为 $\theta$．

其次，要使二面角的正弦值 $\sin \theta$ 最小（因 $\theta \in [0,\pi ]$，$\sin \theta ⩾0$），

等价于使其余弦值的绝对值 $|\cos \theta |$ 最大．

|\cos \theta| = \frac{|\vec{m} \cdot \vec{n}|}{|\vec{m}| |\vec{n}|} = \frac{|1 \times 3 + 0 + 0|}{1 \times \sqrt{3^2 + (m+1)^2 + (2-m)^2}}$$$$|\cos \theta| = \frac{3}{\sqrt{9 + m^2 + 2m + 1 + 4 - 4m + m^2}} = \frac{3}{\sqrt{2m^2 - 2m + 14}}

4. 求最值：

分母部分为二次函数 $g(m)=2m^2-2m+14=2(m-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{27}{2}$．

由于点 $D$ 在边 $A_1{B}_1$ 上，即 $m\in [0,2]$，当 $m=\frac{1}{2}$ 时，$g(m)$ 取得最小值 $\frac{27}{2}$．

此时 $|\cos \theta |$ 取得最大值 $\frac{3}{\sqrt{27/2}}=\frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．

对应的正弦值最小值为 $\sin \theta =\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{6}{9}}=\sqrt{\frac{3}{9}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

结论：

当 $B_{1}D=m=\frac{1}{2}$ 时，该二面角的正弦值最小．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 破冰行动（寻找隐藏的垂直）：对于没有明显坐标系的三棱柱，大胆利用长度关系反推角度是破题的关键。“遇到长度多、直角少的棱柱，必有勾股逆定理在暗中等待”。

  2. 最值转化思想：二面角的正弦与余弦满足 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$。因为 $\cos \theta$ 是由向量夹角公式直接得出的，求 $\sin \theta$ 的最小值应当转换为求 $|\cos \theta |$ 的最大值，从而转化为求分母二次函数的最小值。

• 规律总结：高考立体几何第二问如果是存在性问题或最值问题，参数 $m$ 的范围往往是一个线段长，求出的极值点必须检验是否落在该线段范围内（本题 $1/2\in [0,2]$ 符合）。

• 避坑指南：

  • 向量计算错误：法向量的求解是此类题目的得分核心区，在令 $y=m+1$ 后，$z$ 应为 $2-m$（注意移项时的符号），此处极易出错，必须代入原方程 $-(m+1)+(m+1)+(2-m)$ 检验一遍。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2010-湖北卷文-18 解-线面垂直与线面角
• 2008-大纲卷I文-18 解-四棱锥垂直二面角
• 2008-大纲卷II文-20 解-正四棱柱垂直二面角