2020-全国卷I理-03 单-一元二次方程

本题导读

本题考查正四棱锥的几何性质，以及勾股定理。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(理)）3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）

A. $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$　　　　　B. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$　　　　　C. $\frac{\sqrt{5}+1}{4}$　　　　　D. $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何建模与参数设定： 设正四棱锥的底面边长为 $a$，高为 $h$，侧面三角形底边上的高（斜高）为 $l$。

2. 翻译题目条件：

• “高为边长的正方形面积” $⟹S_1=h^2$
• “侧面三角形面积” $⟹S_2=\frac{1}{2}\cdot a\cdot l$
• 由题意：$h^2=\frac{1}{2}al$ —— ①

3. 利用勾股定理寻找隐藏关系： 在直角三角形 $△POE$（由顶点、底面中心、边中点构成）中： $h^2+(\frac{a}{2}{)}^2=l^2⟹h^2=l^2-\frac{a^2}{4}$ —— ②

4. 联立并求解比值 $\frac{l}{a}$： 将 ② 代入 ①，构造关于 $\frac{l}{a}$ 的一元二次方程。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】 设底面边长为 $a$，斜高为 $l$，四棱锥的高为 $h$。 由题意得： $h^2=\frac{1}{2}al$ 根据正四棱锥的结构特征，有 $h^2=l^2-(\frac{a}{2}{)}^2=l^2-\frac{a^2}{4}$。 代入上式得： $l^2-\frac{a^2}{4}=\frac{1}{2}al$ 整理得：$4l^2-2al-a^2=0$。 方程两边同时除以 $a^2$，得： $4{\left(\frac{l}{a}\right)}^2-2\left(\frac{l}{a}\right)-1=0$ 令 $x=\frac{l}{a}(x>0)$，则 $4x^2-2x-1=0$。 解得： $x=\frac{2\pm \sqrt{(-2{)}^2-4\times 4\times (-1)}}{2\times 4}=\frac{2\pm \sqrt{20}}{8}=\frac{2\pm 2\sqrt{5}}{8}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{4}$ 因为 $x>0$，所以 $x=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 图形还原： 正四棱锥中的“高、斜高、底面边长之半”构成的直角三角形是解决此类问题的钥匙。
• 计算陷阱： 极易将底边长的一半错写成 $a$，导致方程解为 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（这是 $l$ 与 $a/2$ 的比值，即黄金比例，需仔细审题看清是谁与谁的比）。
• 文化背景： 此题体现了数学与建筑美学的结合，结果 $\frac{\sqrt{5}+1}{4}$ 与黄金分割率密切相关。

📖【试题探源与推广】

Tip

若题目求的是“侧面三角形面积与底面积之比”，则为 $\frac{4\times \frac{1}{2}al}{a^2}=\frac{2l}{a}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。在复习时，应注意不同比值对应的几何意义。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2010-大纲卷II理-16
• 2024-北京卷-08 单-四棱锥高
• 2021-甲卷理-19 解-立几综合