2021-甲卷理-20 解-抛物线综合

本题导读

本题考查标准方程与性质。核心在于待定系数法、同构方程法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年甲卷理）抛物线 $C$ 的顶点为坐标原点 $O$ ，焦点在 $x$ 轴上，直线 $l : x = 1$ 交 $C$ 于 $P, Q$ 两点，且 $O P ⊥ O Q$ ．已知点 $M (2, 0)$ ，且 $⊙ M$ 与 $l$ 相切．

（1）求 $C, ⊙ M$ 的方程；

（2）设 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 是 $C$ 上的三个点，直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}$ 均与 $⊙ M$ 相切．判断直线 $A_{2} A_{3}$ 与 $⊙ M$ 的位置关系，并说明理由．

🔍【思路分析】

破题导航

第一问（求方程）：

设出抛物线标准方程 $y^{2} = 2 p x$ 。将 $x = 1$ 代入求出 $P, Q$ 的坐标，利用向量数量积 $O P \cdot O Q = 0$ 建立方程解出 $p$ 。

已知圆心 $M (2, 0)$ ，且圆与直线 $x = 1$ 相切，则圆的半径即为圆心到直线的距离，进而写出圆的标准方程。

第二问（位置关系判断与证明）：

特殊情况讨论：当 $A_{1}$ 为原点时，单独计算验证。

设线与坐标化：利用抛物线 $y^{2} = x$ 上的点坐标 $(y^{2}, y)$ 的特征，写出过任意两点 $A_{1} (y_{1}^{2}, y_{1}), A_{2} (y_{2}^{2}, y_{2})$ 的直线方程 $x - (y_{1} + y_{2}) y + y_{1} y_{2} = 0$ 。

相切条件的代数转化：将圆心 $M (2, 0)$ 到直线 $A_{1} A_{2}$ 的距离等于半径 $1$ 列出代数式，化简后得到一个关于 $y_{2}$ 的一元二次方程。

同构方程与韦达定理：由于 $A_{1} A_{3}$ 也与 $⊙ M$ 相切，同理会得到关于 $y_{3}$ 的结构完全相同的方程。这说明 $y_{2}, y_{3}$ 是某个一元二次方程的两个根。利用韦达定理写出 $y_{2} + y_{3}$ 和 $y_{2} y_{3}$ 的表达式。

计算目标距离：写出直线 $A_{2} A_{3}$ 的方程，计算 $M$ 到 $A_{2} A_{3}$ 的距离 $d$ ，将韦达定理的结论代入化简，若 $d = 1$ ，则相切。

✅【答案】

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(1) 抛物线 $C : y^{2} = x$

$⊙ M : (x - 2)^{2} + y^{2} = 1$

(2) 直线 $A_{2} A_{3}$ 与 $⊙ M$ 相切，理由见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $C, ⊙ M$ 的方程

1. 求抛物线 $C$ 的方程：

因为 $x = 1$ 与抛物线有两个不同的交点，且抛物线顶点在原点，焦点在 $x$ 轴上，

故可设抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ．

令 $x = 1$ ，则 $y^{2} = 2 p ⟹ y = \pm 2 p$ ．

根据抛物线的对称性，不妨设 $P$ 在 $x$ 轴上方， $Q$ 在 $x$ 轴下方，

则 $P (1, 2 p), Q (1, - 2 p)$ ．

因为 $O P ⊥ O Q$ ，所以向量数量积 $O P \cdot O Q = 0$ ：

$1 \times 1 + 2 p \times (- 2 p) = 0 ⟹ 1 - 2 p = 0 ⟹ p = \frac{1}{2}$

故抛物线 $C$ 的方程为： $y^{2} = x$ ．

2. 求 $⊙ M$ 的方程：

已知圆心为 $M (2, 0)$ ，直线 $l : x = 1$ ．

因为 $⊙ M$ 与 $l$ 相切，所以圆的半径 $R$ 等于圆心 $M$ 到直线 $l$ 的距离：

$R = ∣2 - 1∣ = 1$

故 $⊙ M$ 的标准方程为： $(x - 2)^{2} + y^{2} = 1$ ．

（2）判断直线 $A_{2} A_{3}$ 与 $⊙ M$ 的位置关系

设 $A_{1} (x_{1}, y_{1}), A_{2} (x_{2}, y_{2}), A_{3} (x_{3}, y_{3})$ 为抛物线 $y^{2} = x$ 上的相异三点。

则 $x_{i} = y_{i}^{2} (i = 1, 2, 3)$ 。

情况一：当 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 中某一点为坐标原点时（以 $A_{1} (0, 0)$ 为例）：

此时直线 $A_{1} A_{2}$ 经过原点，设其方程为 $y = k x$ （即 $k x - y = 0$ ）。

因为 $A_{1} A_{2}$ 与 $⊙ M$ 相切，圆心 $M (2, 0)$ 到直线的距离为 1：

$d = \frac{∣2 k - 0∣}{k ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = 1 ⟹ 4 k^{2} = k^{2} + 1 ⟹ k = \pm \frac{3}{3}$

不妨设直线 $A_{1} A_{2}$ 为 $x = 3 y$ ，联立 $y^{2} = x$ 得 $y^{2} = 3 y ⟹ y = 3$ ，交点 $A_{2} (3, 3)$ 。

由对称性知，另一条切线 $A_{1} A_{3}$ 为 $x = - 3 y$ ，交点 $A_{3} (3, - 3)$ 。

此时直线 $A_{2} A_{3}$ 的方程为 $x = 3$ 。

圆心 $M (2, 0)$ 到直线 $x = 3$ 的距离 $d = ∣2 - 3∣ = 1$ ，等于半径。

故此时直线 $A_{2} A_{3}$ 与 $⊙ M$ 相切。

情况二：当 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 都不是坐标原点时：

过 $A_{1} (y_{1}^{2}, y_{1})$ 和 $A_{2} (y_{2}^{2}, y_{2})$ 的直线斜率 $k = \frac{y _{1} - y _{2}}{y _{1}^{2} - y _{2}^{2}} = \frac{1}{y _{1} + y _{2}}$ 。

直线 $A_{1} A_{2}$ 的方程可写为： $y - y_{1} = \frac{1}{y _{1} + y _{2}} (x - y_{1}^{2})$ ，整理得：

$x - (y_{1} + y_{2}) y + y_{1} y_{2} = 0$

因为直线 $A_{1} A_{2}$ 与 $⊙ M$ 相切，圆心 $M (2, 0)$ 到该直线的距离为 $1$ ：

$\frac{∣2 - 0 + y _{1} y _{2} ∣}{1 ^{2} + [ - ( y _{1} + y _{2} ) ] ^{2}} = 1$

即 $∣2 + y_{1} y_{2} ∣ = 1 + (y_{1} + y_{2})^{2}$ 。

两边平方展开：

$4 + 4 y_{1} y_{2} + y_{1}^{2} y_{2}^{2} = 1 + y_{1}^{2} + 2 y_{1} y_{2} + y_{2}^{2}$

将含有 $y_{2}$ 的项合并，整理为关于 $y_{2}$ 的二次方程：

$(y_{1}^{2} - 1) y_{2}^{2} + 2 y_{1} y_{2} + (3 - y_{1}^{2}) = 0 (*)$

同理，因为直线 $A_{1} A_{3}$ 也与 $⊙ M$ 相切，过点 $A_{1}, A_{3}$ ，

可得到完全一致的代数结构，即 $y_{3}$ 也满足方程：

$(y_{1}^{2} - 1) y_{3}^{2} + 2 y_{1} y_{3} + (3 - y_{1}^{2}) = 0 (**)$

由 (*) 和 (**) 可知， $y_{2}$ 和 $y_{3}$ 是关于 $t$ 的一元二次方程 $(y_{1}^{2} - 1) t^{2} + 2 y_{1} t + (3 - y_{1}^{2}) = 0$ 的两个不同实数根（此处 $y_{1}^{2} \neq = 1$ ，否则切点重合）。

根据韦达定理：

$y_2 + y_3 = \frac{-2y_1}{y_1^2 - 1}$$$$y_2 y_3 = \frac{3 - y_1^2}{y_1^2 - 1}$

接下来考察直线 $A_{2} A_{3}$ 。同理可写出直线 $A_{2} A_{3}$ 的方程为：

$x - (y_{2} + y_{3}) y + y_{2} y_{3} = 0$

圆心 $M (2, 0)$ 到直线 $A_{2} A_{3}$ 的距离 $d$ 的平方为：

$d^{2} = \frac{( 2 + y _{2} y _{3} ) ^{2}}{1 + ( y _{2} + y _{3} ) ^{2}}$

将韦达定理的结果代入：

分子部分： $2 + y_{2} y_{3} = 2 + \frac{3 - y _{1}^{2}}{y _{1}^{2} - 1} = \frac{2 y _{1}^{2} - 2 + 3 - y _{1}^{2}}{y _{1}^{2} - 1} = \frac{y _{1}^{2} + 1}{y _{1}^{2} - 1}$ ．

所以分子平方为 $\frac{( y _{1}^{2} + 1 ) ^{2}}{( y _{1}^{2} - 1 ) ^{2}}$ ．

分母部分： $1 + (y_{2} + y_{3})^{2} = 1 + (\frac{- 2 y _{1}}{y _{1}^{2} - 1})^{2} = 1 + \frac{4 y _{1}^{2}}{( y _{1}^{2} - 1 ) ^{2}} = \frac{( y _{1}^{2} - 1 ) ^{2} + 4 y _{1}^{2}}{( y _{1}^{2} - 1 ) ^{2}} = \frac{( y _{1}^{2} + 1 ) ^{2}}{( y _{1}^{2} - 1 ) ^{2}}$ ．

故距离的平方：

$d^{2} = \frac{\frac{( y _{1}^{2} + 1 ) ^{2}}{( y _{1}^{2} - 1 ) ^{2}}}{\frac{( y _{1}^{2} + 1 ) ^{2}}{( y _{1}^{2} - 1 ) ^{2}}} = 1$

因为 $d^{2} = 1$ ，所以 $d = 1$ 。即圆心到直线 $A_{2} A_{3}$ 的距离等于圆的半径。

结论：

综上所述，无论何种情况，直线 $A_{2} A_{3}$ 均与 $⊙ M$ 相切。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心技巧：

两点式快速求解方程：在抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 中，过点 $(y_{1}^{2} /2 p, y_{1})$ 和 $(y_{2}^{2} /2 p, y_{2})$ 的直线方程可以统一写成 $2 p x - (y_{1} + y_{2}) y + y_{1} y_{2} = 0$ 。本题 $2 p = 1$ ，这极大简化了直线与圆联立时的代数表达。

同构方程与韦达定理：当两个变量（如 $y_{2}, y_{3}$ ）在与第三个变量（ $y_{1}$ ）发生几何关系时具有完全相同的代数约束表达式时，可将它们视为同一个一元二次方程的两个根，从而直接利用韦达定理提取“和与积”。这是解析几何压轴题中“化繁为简”的高级心法。

规律总结：这是一个经典的几何构型：抛物线外接于某圆的外切三角形的变体（彭赛列闭合定理的特例）。从圆外一点引两条切线交抛物线，另一条弦必然也与同心或相关圆相切。

避坑指南：

在同构得出二次方程时，要留意首项系数 $y_{1}^{2} - 1$ 是否为零。如果 $y_{1} = \pm 1$ （即 $A_{1} (1, \pm 1)$ ），此时过 $A_{1}$ 的切线会平行于 $y$ 轴，退化为一次方程，在严谨的解题中需补充“特例讨论”（即本解析中的“情况一”）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：待补

结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

18.03 抛物线专题全总结

17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义

2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义

2008-广东卷文-20 解-椭圆抛物线切线与存在性

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