本题导读
本题考查圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系。
📌【题干】
Question
（2022年上海卷） 设集合 。
①存在直线 ，使得集合 中不存在点在 上，而存在点在 两侧；
②存在直线 ，使得集合 中存在无数点在 上；()
A. ①成立②成立 B. ①成立②不成立
C. ①不成立②成立 D. ①不成立②不成立
🔍【思路分析】
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首先，需要对集合 的几何意义进行“翻译”：
方程 代表了一族圆。
圆心坐标：，显然圆心都在抛物线 上。
圆的半径：。
参数 ： 是整数（）。
集合 实际上就是平面上无数个这样的“离散圆”上的所有点的集合。
解题的核心在于研究随着 的增大，圆心的位置变化与圆的半径变化之间的相对速度（增长量级）。
✅【答案】
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B
✍【详细解析】
Abstract
命题①分析：
命题①的意思是：能不能找到一条直线，它巧妙地穿过了这群圆的缝隙（不与任何圆相交），并且把这群圆分成了两部分（直线两侧都有圆）？
随着 （或者 足够大时），相邻两个圆 和 的圆心距离为：
（量级为一次方）。
而相邻两个圆的半径之和为：
（量级为二分之一次方）。
因为 的增长速度远远大于 ，所以当 足够大时，相邻圆之间的距离远大于它们的半径之和，相邻圆会完全分离，且中间的缝隙越来越大。
既然缝隙越来越大，我们完全可以在两个互不相交的圆（例如 和 ）之间画一条直线 ，使得它不碰到任何圆，且 和 分列于直线两侧。
因此，命题①成立。
命题②分析：
命题②的意思是：能不能找到一条直线，它能与集合 产生无数个交点？
一条直线与一个固定的圆最多只有 个交点。如果这条直线要与集合 产生无数个交点，它必须与无数个圆相交。
假设存在这样一条直线 （即 ）。
圆心 到这条直线的距离 为：
直线 要与圆 相交，必须满足 ，即：
观察这个不等式：当 趋向于无穷大时，左边绝对值里的起决定性作用的是二次项 ，所以左边点到直线的距离 呈二次方（平方）量级增长。
而右边的半径 只是呈二分之一次方量级增长。
显然，平方级的增长速度要远远碾压开方级的增长速度。因此，当 大到一定程度后，必然有 ，即圆心到直线的距离远大于半径，直线根本碰不到这些远处的圆。
也就是说，任何一条确定的直线，都只能穿过中心区域有限个圆，绝不可能与无数个圆相交。 既然只与有限个圆相交，交点总数必然是有限的。
因此，命题②不成立。
综上所述，①成立，②不成立。
故选：B。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
轨迹与量级思想的结合：这道题看似考查解析几何，实则考查了微积分前置概念中的“增长率（量级）比较”。
抛物线 的发散速度是 。
半径 的发散速度是 。
直线的发散速度是 。
记住：二次方级别 一次方级别 开方级别。直线（一次）永远追不上抛物线（二次），所以直线无法贯穿无数个圆。
集合语言的转化：“集合中不存在点在 上” “直线与所有的圆均相离”；“存在无数点在 上” “直线与无数个圆相交”。做题时第一步先完成这种翻译。
📖【试题探源与推广】
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试题探源：待补
结论推广：待补
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