2022-上海卷-17 解-立几综合

本题导读

本题考查棱锥的体积。核心在于几何综合法（求体积）、空间向量建系法（求线面角）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年上海卷） 如图所示三棱锥 $P-ABC$，底面为等边 $\Delta ABC$，$O$ 为 $AC$ 边中点，且 $PO\perp$ 底面 $ABC$，$AP=AC=2$．

（1）求三棱锥体积 $V_{P-ABC}$；

（2）若 $M$ 为 $BC$ 中点，求 $PM$ 与面 $PAC$ 所成角大小．

🔍【思路分析】

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（1）求体积：根据题意 $PO\perp$ 底面 $ABC$，所以 $PO$ 就是三棱锥的高。底面是已知边长的等边三角形，面积容易求得；接下来只需要在直角三角形 $POA$ 中，利用勾股定理求出高 $PO$ 的长度，直接代入棱锥体积公式 $V=\frac{1}{3}Sh$ 即可。

（2）求线面角：由于底面是等边三角形且 $O$ 为中点，连接 $BO$ 必然有 $BO\perp AC$。结合 $PO\perp$ 底面，我们拥有了三条两两垂直的直线 $OB,OC,OP$，这构成了完美的三维坐标系。建系后，写出各点坐标，求出平面的法向量与直线的方向向量，利用向量夹角公式求解即可。

✅【答案】

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(1) $V_{P-ABC}=1$

(2) $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）计算三棱锥的体积

因为底面 $\Delta ABC$ 为等边三角形，且边长 $AC=2$，

所以底面面积 $S_{\Delta ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 2^2=\sqrt{3}$。

因为 $PO\perp$ 底面 $ABC$，$O$ 在底面内，所以 $PO\perp AC$。

又因为 $O$ 为 $AC$ 边中点，且在 $Rt\Delta POA$ 中，斜边 $AP=2$，$AO=\frac{1}{2}AC=1$，

根据勾股定理可得三棱锥的高 $PO$：

$PO=\sqrt{A{P}^2-A{O}^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$

因此，三棱锥体积为：

$V_{P-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{\Delta ABC}\cdot PO=\frac{1}{3}\times \sqrt{3}\times \sqrt{3}=1$

（2）计算 $PM$ 与面 $PAC$ 所成的角

建系准备：

因为 $\Delta ABC$ 为等边三角形，$O$ 为 $AC$ 中点，所以 $BO\perp AC$。

又因为 $PO\perp$ 底面 $ABC$，$BO,AC\subset$ 底面 $ABC$，所以 $PO\perp BO$，$PO\perp AC$。

这样，以 $O$ 为坐标原点，$OB$ 所在直线为 $x$ 轴，$OC$ 所在直线为 $y$ 轴，$OP$ 所在直线为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系 $O-xyz$。

坐标计算：

由题意，底面高 $OB=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，所以各点坐标如下：

$O(0,0,0)$

$B(\sqrt{3},0,0)$

$C(0,1,0)$

$A(0,-1,0)$

$P(0,0,\sqrt{3})$

因为 $M$ 为 $BC$ 的中点，由中点坐标公式得：

$M\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0\right)$

向量求解：

计算直线 $PM$ 的方向向量：

$\overrightarrow{PM}=M-P=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},-\sqrt{3}\right)$

计算其模长：$|\overrightarrow{PM}|=\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+(-\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+3}=\sqrt{4}=2$。

对于平面 $PAC$，由于它包含 $y$ 轴（$AC$ 所在直线）和 $z$ 轴（$OP$ 所在直线），显然 $x$ 轴（即直线 $OB$）垂直于平面 $PAC$。

所以，平面 $PAC$ 的一个法向量即为：

$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{OB}=(\sqrt{3},0,0)$

法向量模长：$|\overrightarrow{n}|=\sqrt{3}$。

求线面角：

设直线 $PM$ 与平面 $PAC$ 所成的角为 $\theta$（$0⩽\theta ⩽\frac{\pi }{2}$），则：

\sin \theta = |\cos \langle \overrightarrow{PM}, \overrightarrow{n} \rangle| = \frac{|\overrightarrow{PM} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PM}| \cdot |\overrightarrow{n}|}$$$$\sin \theta = \frac{\left| \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3} + \frac{1}{2} \times 0 + (-\sqrt{3}) \times 0 \right|}{2 \times \sqrt{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4}

因此，直线 $PM$ 与平面 $PAC$ 所成角大小为 $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 建系的严谨性：在使用空间向量法时，一定要先证明直线的两两垂直关系（即 $BO\perp AC$, $PO\perp BO$, $PO\perp AC$），千万不要直接写“以 $O$ 为原点建系”而不给理由，这在高考阅卷中会被扣除步骤分。

2. 法向量的巧妙选取：求解平面 $PAC$ 的法向量时，不需要傻乎乎地去设 $\vec{n}=(x,y,z)$ 然后联立方程。因为该平面刚好是由坐标轴 $y$ 轴和 $z$ 轴张成的平面（即 $yOz$ 平面），所以 $x$ 轴的方向向量（如 $\overrightarrow{OB}$ 或直接用单位向量 $(1,0,0)$）天然就是它的法向量。

3. 线面角的正弦与向量夹角的余弦：公式 $\sin \theta =|\cos ⟨\vec{a},\vec{n}⟩|$ 中必须带绝对值，因为线面角的范围是 $[0,\frac{\pi }{2}]$，正弦值一定为正。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-18 解-直三棱柱垂直与角
• 2000-新课标理-09 单-几何体的表面积与体积
• 2005-湖北卷理-10 单-线面平行与面面平行的