2022-乙卷文-22 解-极坐标与参数方程

本题导读

本题考查坐标系与参数方程。核心在于代数法、判别式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷文） 在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}\cos 2t,\\ y=2\sin t\end{array}$ ($t$ 为参数). 以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $\rho \sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)+m=0$.

(1) 写出 $l$ 的直角坐标方程；

(2) 若 $l$ 与 $C$ 有公共点，求 $m$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：利用展开公式将极坐标方程展开，结合 $\rho \cos \theta =x$、$\rho \sin \theta =y$ 转化为直角坐标方程。
2. 第(2)问：先将曲线 $C$ 的参数方程化为普通方程，再将直线方程与曲线方程联立，利用关于 $x$ 的二次方程有实数解（$\Delta \ge 0$）及变量的取值范围求出 $m$ 的取值范围。

✅【答案】

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$m$ 的取值范围为 $\left[-\frac{25\sqrt{3}}{24},+\infty \right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $\rho \sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)+m=0$，得 $\rho \left(\sin \theta \cos \frac{\pi }{3}+\cos \theta \sin \frac{\pi }{3}\right)+m=0$， 即 $\frac{1}{2}\rho \sin \theta +\frac{\sqrt{3}}{2}\rho \cos \theta +m=0$. 因为 $x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$， 所以直线 $l$ 的直角坐标方程为 $\sqrt{3}x+y+2m=0$.

(2) 由曲线 $C$ 的参数方程 $\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}(1-2{\sin }^{2}t),\\ y=2\sin t\end{array}$， 得 $x=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}{y}^2$（其中 $y\in [-2,2]$，$x\in [-\sqrt{3},\sqrt{3}]$），即 $\frac{\sqrt{3}}{2}{y}^2=\sqrt{3}-x$. 由 $\sqrt{3}x+y+2m=0$ 得 $y=-\sqrt{3}x-2m$. 代入曲线方程得： $\frac{\sqrt{3}}{2}(-\sqrt{3}x-2m{)}^2=\sqrt{3}-x$， 化简得 $3x^2+(4\sqrt{3}m+1)x+4m^2-2=0$. 因为直线与曲线有公共点，所以方程有实数根， 即 $\Delta =(4\sqrt{3}m+1{)}^2-12(4m^2-2)\ge 0$， 展开得 $48m^2+8\sqrt{3}m+1-48m^2+24\ge 0$， 即 $8\sqrt{3}m+25\ge 0$，解得 $m\ge -\frac{25\sqrt{3}}{24}$. 经检验，满足 $x\in [-\sqrt{3},\sqrt{3}]$ 的条件。 故 $m$ 的取值范围为 $\left[-\frac{25\sqrt{3}}{24},+\infty \right)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标与直角坐标互化、直线与圆锥曲线的交点问题。
2. 核心方法：消元代入法与判别式法。
3. 避坑指南：注意参数方程中三角函数范围对变量取值范围的限制。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考数学选考题（坐标系与参数方程）标准题型。
2. 结论推广：利用参数方程研究抛物线性质与直线相交问题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2012年新课标Ⅰ理-23
• 2024-甲卷理-22 解-极坐标与参数方程
• 2012年上海卷理-7