2022-乙卷理-04 单-数列递推

本题导读

本题考查递推数列与连分数，以及单调性应用。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷理） 嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 $\{b_n\}$：

$b_1=1+\frac{1}{{\alpha }_1}$，

$b_2=1+\frac{1}{{\alpha }_1+\frac{1}{{\alpha }_2}}$，

$b_3=1+\frac{1}{{\alpha }_1+\frac{1}{{\alpha }_2+\frac{1}{{\alpha }_3}}}$，$\dots$，

依此类推，其中 ${\alpha }_k\in {\mathbb{N}}^{\ast }(k=1,2,\dots )$．则()

A. $b_1<b_5$　　　B. $b_3<b_8$　　　C. $b_6<b_2$　　　D. $b_4<b_7$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解法一（特殊值法 - 考场首选）：因为题目对任意的正整数序列 ${\alpha }_k$ 都成立，为了最快得出答案，直接令所有 ${\alpha }_k=1$。此时数列 $\{b_n\}$ 退化为斐波那契数列相邻项的比值序列。依次算出前 8 项的值，化为小数或通分比较大小即可瞬间快速求解。

2. 解法二（单调性与奇偶子列分析法 - 严密证明）：将连分数的嵌套过程看作函数的迭代。分析连分数随层数增加的变化规律：

   • 奇数项子列 $\{b_{2k-1}\}$ 单调递减；

   • 偶数项子列 $\{b_{2k}\}$ 单调递增；

   • 任意奇数项始终大于任意偶数项。

     利用这三个结论即可判定选项真伪。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

方法一：特殊值代入法（快速求解法）

因为题设条件对任意 ${\alpha }_k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 都成立，不妨取最简单的正整数，令所有的 ${\alpha }_k=1$。

此时进行逐项计算：

• $b_1=1+\frac{1}{1}=2$

• $b_2=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=1.5$

• $b_3=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}=1+\frac{1}{\frac{3}{2}}=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}\approx 1.667$

• $b_4=1+\frac{1}{\frac{5}{3}}=1+\frac{3}{5}=\frac{8}{5}=1.6$

• $b_5=1+\frac{1}{\frac{8}{5}}=1+\frac{5}{8}=\frac{13}{8}=1.625$

• $b_6=1+\frac{1}{\frac{13}{8}}=1+\frac{8}{13}=\frac{21}{13}\approx 1.615$

• $b_7=1+\frac{1}{\frac{21}{13}}=1+\frac{13}{21}=\frac{34}{21}\approx 1.619$

• $b_8=1+\frac{1}{\frac{34}{21}}=1+\frac{21}{34}\approx 1.617$

逐一验证选项：

• A 选项：$b_1=2,b_5=1.625$，显然 $b_1>b_5$，A 错误；

• B 选项：$b_3\approx 1.667,b_8\approx 1.617$，显然 $b_3>b_8$，B 错误；

• C 选项：$b_6\approx 1.615,b_2=1.5$，显然 $b_6>b_2$，C 错误；

• D 选项：$b_4=1.6,b_7\approx 1.619$，显然 $b_4<b_7$，D 正确。

方法二：单调性与奇偶子列分析法（严谨推导）

观察连分数的递推结构，分母越大，分数值越小；分母的分母越大，分母越小，分数值越大。

1. 研究奇偶项之间的关系：

   对任意正整数 $n$，$b_{2n-1}$ 的最底层结构是正数，而 $b_{2n}$ 是在其基础上分母又加了一个正数 $\frac{1}{{\alpha }_{2n}}$，导致整体分母变大，总分数值变小。

   因此，对于整个数列，奇数项始终大于相邻的偶数项，甚至可以严格证明：任意奇数项 $>$ 任意偶数项。

2. 研究奇数项子列 $\{b_{2n-1}\}$ 的单调性：

   比较 $b_1$ 和 $b_3$：

   $b_1=1+\frac{1}{{\alpha }_1}$

   $b_3=1+\frac{1}{{\alpha }_1+\frac{1}{{\alpha }_2+\frac{1}{{\alpha }_3}}}$

   因为 $\frac{1}{{\alpha }_2+\frac{1}{{\alpha }_3}}>0$，所以 ${\alpha }_1+\frac{1}{{\alpha }_2+\frac{1}{{\alpha }_3}}>{\alpha }_1$。

   故 $1+\frac{1}{{\alpha }_1+\frac{1}{\dots }}<1+\frac{1}{{\alpha }_1}$，即 $b_3<b_1$。

   同理推导可得，奇数项子列是单调递减的：$b_1>b_3>b_5>b_7>\dots$

3. 研究偶数项子列 $\{b_{2n}\}$ 的单调性：

   比较 $b_2$ 和 $b_4$：

   $b_2=1+\frac{1}{{\alpha }_1+\frac{1}{{\alpha }_2}}$

   $b_4=1+\frac{1}{{\alpha }_1+\frac{1}{{\alpha }_2+\frac{1}{{\alpha }_3+\frac{1}{{\alpha }_4}}}}$

   因为分母的最底层增加，使得倒数第二层分母变大 $\to$ 倒数第二层分数变小 $\to$ 倒数第三层分母变小 $\to$ 整体分数变大。

   故 $b_4>b_2$。

   同理推导可得，偶数项子列是单调递增的：$b_2<b_4<b_6<b_8<\dots$

4. 综合应用判定选项：

   根据上述规律，我们有：

   偶数项（递增） $<$ 奇数项（递减）

   即：$b_2<b_4<b_6<b_8<\cdots <b_7<b_5<b_3<b_1$。

   • A项：$b_1>b_5$，错误。

   • B项：$b_3>b_8$，错误。

   • C项：$b_6>b_2$，错误。

   • D项：$b_4<b_7$（因为偶数项永远小于奇数项），正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 特殊值法：面对“对任意正整数都成立”的抽象代数/数列题，“赋最简值”（如本题令 ${\alpha }_k=1$）是破题的无上心法，能够将抽象证明直接简化成小学算术比大小。

  2. 层级放缩逻辑：在连分数中，随着层级的增加，增减性呈**“正负交替”**传递。即第一层分母变大导致整体变小，第二层分母变大导致第一层分母变小，从而整体变大。这种交替性质直接决定了连分数的奇、偶子列必然分别具有单调性。

• 规律总结：连分数（Continued Fraction）是高等数学和数论中的重要工具。如果所有 ${\alpha }_k=1$，这个序列实际上逼近黄金分割比 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.618$。其奇数项从上方逼近（递减），偶数项从下方逼近（递增）。

• 避坑指南：在方法一的计算中，切勿将嵌套的分数看错层级，建议从最底层逐步向上通分计算（即 $2,3/2,5/3,8/5,13/8\dots$），这恰好是斐波那契数列后一项除以前一项的经典序列。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-20 解-绝对值分段函数
• 2008-重庆卷理-22
• 2009-广东卷文-20 解-数列递推裂项