2022-乙卷理-12 单-抽象函数性质

本题导读

本题考查奇偶性，以及周期性。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷理） 已知函数 $f(x),g(x)$ 的定义域均为 $\mathbb{R}$，且 $f(x)+g(2-x)=5$，$g(x)-f(x-4)=7$．若 $y=g(x)$ 的图象关于直线 $x=2$ 对称，$g(2)=4$，则 ${\sum }_{k=1}^{22}f(k)=$ ()

A. $-21$　　　　　　B. $-22$　　　　　　C. $-23$　　　　　　D. $-24$

🔍【思路分析】

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1. 推导 $f(x)$ 的奇偶性：利用 $g(x)$ 关于 $x=2$ 对称（即 $g(2-x)=g(2+x)$）以及已知方程 $f(x)+g(2-x)=5$，推导 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系。

2. 求特殊值：利用 $g(2)=4$ 和已知方程，求出 $f(0)$ 的值。

3. 推导 $f(x)$ 的周期性：将两个已知方程联立，消去 $g(x)$，建立 $f(x)$ 的递推关系式，发现 $f(x)+f(x+2)$ 为定值，进而得出周期 $T$。

4. 计算周期内各项值：求出 $f(1),f(2),f(3),f(4)$ 的值。

5. 周期求和：利用周期性将 22 项求和转化为 $5$ 个周期和加上前两项之和。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

1. 确定 $f(x)$ 的奇偶性：

因为 $y=g(x)$ 关于直线 $x=2$ 对称，所以 $g(2-x)=g(2+x)$．

已知 $f(x)+g(2-x)=5$ ①．

用 $-x$ 替换 $x$，得：$f(-x)+g(2-(-x))=5⟹f(-x)+g(2+x)=5$．

由于 $g(2+x)=g(2-x)$，代入上式得：

$f(-x)+g(2-x)=5$．

结合 ① 式，有 $f(x)=5-g(2-x)$ 且 $f(-x)=5-g(2-x)$．

所以 $f(-x)=f(x)$，即 $f(x)$ 为偶函数．

2. 求 $f(0)$ 的值：

在 ① 式中令 $x=0$，得 $f(0)+g(2)=5$．

已知 $g(2)=4$，所以 $f(0)+4=5⟹f(0)=1$．

3. 推导 $f(x)$ 的周期性：

已知 $g(x)-f(x-4)=7$ ②．

将 ② 式中的 $x$ 替换为 $2-x$，得：

$g(2-x)-f(2-x-4)=7⟹g(2-x)-f(-x-2)=7$．

因为 $f(x)$ 是偶函数，所以 $f(-x-2)=f(x+2)$．

故 $g(2-x)=f(x+2)+7$．

将此式代入 ①：

$f(x)+[f(x+2)+7]=5⟹f(x)+f(x+2)=-2$ ③．

由 ③ 可知 $f(x+2)+f(x+4)=-2$．

两式相减得：$f(x+4)-f(x)=0⟹f(x+4)=f(x)$．

所以 $f(x)$ 是周期为 $4$ 的周期函数．

4. 计算周期内各项的值：

• 求 $f(2)$：在 ③ 中令 $x=0$，得 $f(0)+f(2)=-2$．

  $1+f(2)=-2⟹f(2)=-3$．

• 求 $f(1)$：在 ③ 中令 $x=-1$，得 $f(-1)+f(1)=-2$．

  由偶函数性质 $f(-1)=f(1)$，得 $2f(1)=-2⟹f(1)=-1$．

• 求 $f(3)$：由周期性 $f(3)=f(-1)=f(1)=-1$．

• 求 $f(4)$：由周期性 $f(4)=f(0)=1$．

一个周期内的和为：

$T_{\text{sum}}=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=(-1)+(-3)+(-1)+1=-4$．

5. 计算总和：

${\sum }_{k=1}^{22}f(k)=5\times T_{\text{sum}}+f(1)+f(2)$

$=5\times (-4)+(-1)+(-3)$

$=-20-4=-24$．

结论：

对应选项 D 正确．

【解法二】（类似：利用总体求和）

因为$y=g(x)$的图像关于直线$x=2$对称，所以$g\left(2-x\right)=g\left(x+2\right)$，

因为$g(x)-f(x-4)=7$，所以$g(x+2)-f(x-2)=7$，即$g(x+2)=7+f(x-2)$，

因为$f(x)+g(2-x)=5$，所以$f(x)+g(x+2)=5$，

代入得$f(x)+\left[7+f(x-2)\right]=5$，即$f(x)+f(x-2)=-2$，

所以$f\left(3\right)+f\left(5\right)+\dots +f\left(21\right)=\left(-2\right)\times 5=-10$，$f\left(4\right)+f\left(6\right)+\dots +f\left(22\right)=\left(-2\right)\times 5=-10$.

因为$f(x)+g(2-x)=5$，所以$f(0)+g(2)=5$，

即$f\left(0\right)=1$，所以$f(2)=-2-f\left(0\right)=-3$.

因$g(x)-f(x-4)=7$，所以$g(x+4)-f(x)=7$，又因为$f(x)+g(2-x)=5$，

联立得，$g\left(2-x\right)+g\left(x+4\right)=12$，

所以$y=g(x)$的图像关于点$\left(3,6\right)$中心对称，

因为函数$g(x)$的定义域为**R****，**所以$g\left(3\right)=6$

因为$f(x)+g(x+2)=5$，所以$f\left(1\right)=5-g\left(3\right)=-1$.

所以$\underset{k=1}{{\sum }^{}^{22}}f(k)=f\left(1\right)+f\left(2\right)+\left[f\left(3\right)+f\left(5\right)+\dots +f\left(21\right)\right]+\left[f\left(4\right)+f\left(6\right)+\dots +f\left(22\right)\right]=-1-3-10-10=-24$

故选：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 对称性的转化：$g(x)$ 关于 $x=a$ 对称 $⟺g(a-x)=g(a+x)$。这是处理抽象函数对称性的基本代数式。

  2. 周期的“半步”推导：若 $f(x)+f(x+a)=c$（常数），则 $f(x)$ 必为周期函数，且 $T=2a$。本题中 $a=2$，故 $T=4$。这是一个非常重要的高频二级结论。

• 规律总结：此类题目通常遵循“奇偶性 $\to$ 赋值求点 $\to$ 递推找周期 $\to$ 分组求和”的标准流程。

• 避坑指南：

  • 自变量代换：在将 $x$ 替换为 $2-x$ 时，务必注意 $f(x-4)$ 变为 $f(2-x-4)=f(-x-2)$，不要算错符号。

  • 求和项数：求和上限是 $22$，即 $4\times 5+2$，最后剩余的是 $f(21),f(22)$，它们分别等于 $f(1),f(2)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-03 单-函数奇偶性
• 2013-江西卷理-21 解-对称性
• 2014-江苏卷-13 填-周期性