本题导读
本题考查平面向量的数量积及其几何意义，以及极化恒等式。
📌【题干】
Question
（2022年北京卷） 在 中，，，。 为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范围是 ()
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
本题考查平面向量数量积的取值范围。动点 满足 ，几何意义是点 在以 为圆心、 为半径的圆上运动。处理这种“定点+圆上动点”的数量积问题，通常有三种绝佳视角：
坐标法：建系，将点 坐标参数化（三角换元），转化为三角函数最值问题。
基底法：以 为核心，将 和 拆分为与 相关的和差形式进行计算。
极化恒等式（几何法）：引入弦 的中点，将双动点向量点乘转化为单线段长度的极值问题，这是本题最快、最优雅的解法。
✅【答案】
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D
✍【详细解析】
Abstract
解法一：坐标建系法（代数法）
在 中，因为 ，，。
以 为坐标原点，、 所在的直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系。
则有 ，，。
设动点 ，因为 ，所以点 的轨迹方程为 。
由坐标运算可得：
所以数量积为：
将 代入，得：
由于点 在单位圆上，可设 ，，代入上式：
（其中 ）
由三角函数的性质可知，。
当 时，取得最小值 ；
当 时，取得最大值 。
因此， 的取值范围是 。
解法二：基底向量法（夹角转化）
将 和 用含有动向量 的式子表示：
已知 ，且 即 ，代入得：
设向量 与 的夹角为 。因为 ，所以 与 的夹角为 （或由周期性化归）。
因此 。
代入长度：
同样由于正弦函数的值域为 ，最值分别为 和 。
取值范围为 。
解法三：极化恒等式（几何图形法 - 最优解）
设 是线段 的中点。根据向量的极化恒等式：
在直角 中，。
所以 。
由于 是直角三角形， 是斜边 的中点，所以 是斜边上的中线，有：
此时问题转化为：求动点 （在以 为圆心、 为半径的圆上）到定点 的距离的平方 的最值。
由圆的几何性质（圆心距与半径的关系）知：
所以 。
代回极化恒等式：
最小值：
最大值：
取值范围是 。故选 D。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
一题多解的思维训练：本题完美展示了向量问题的“数”（代数坐标法）与“形”（极化恒等几何法）的结合。坐标法保底，极化恒等式拔高。
极化恒等式 ：这是处理“同起点、定终点连线”向量数量积的最强公式。它将两个向量的乘积运算，瞬间转化为单一线段长度的计算，实现了变量的简化。只要题目中出现了线段的中点，或者能够方便地找到中点，首选极化恒等式。
圆的参数化技巧：遇到 ，条件反射地设出 ，配合辅助角公式 是通法。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：待补
结论推广：待补
🔗【关联脉络】
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