2022-北京卷-11 填-函数定义域

本题导读

本题考查函数的定义域，以及一元一次不等式组的解法。

📌【题干】

Question

（2022年北京卷） 函数 $f(x)=\frac{1}{x}+\sqrt{1-x}$ 的定义域是 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

求具体函数的定义域，核心是寻找使函数解析式有意义的自变量的取值范围。本题解析式由两部分组成，需要同时满足两种常见的限制条件：

1. 分式结构：分母不能为 $0$。

2. 偶次根式结构：被开方数必须非负（大于或等于 $0$）。

   将这两个条件联立成不等式组，求出其解集即可。

✅【答案】

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$(-\infty ,0)\cup (0,1]$

✍【详细解析】

Abstract

要使函数 $f(x)=\frac{1}{x}+\sqrt{1-x}$ 有意义，必须满足以下条件：

$\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ 1-x⩾0\end{array}$

解上述不等式组：

由第一式得：$x\ne 0$；

由第二式得：$x⩽1$。

取两者的交集，即 $x⩽1$ 且 $x\ne 0$。

将其转化为区间表示形式，即为：$(-\infty ,0)\cup (0,1]$。

故答案为：$(-\infty ,0)\cup (0,1]$。

【试题评价】

本题主要考查具体函数定义域的求法，以及简单不等式组的运算求解能力。属于基础题（送分题）。解题的关键在于熟记初等函数有意义的几个基本原则：“分母不为零”、“偶次根号下非负”、“对数真数大于零”等。只要细心求交集，即可轻松得分。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷文-03 单-对数函数定义域
• 1992-全国卷理-27
• 1997-全国卷理-14 单-含绝对值的分式不等式组