2013-重庆卷文-03 单-对数函数定义域

本题导读

本题考查函数的定义域，以及对数函数。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(文)） 函数 $y=\frac{1}{{\log }_2(x-2)}$ 的定义域是()

A. $(-\infty ,2)$　　　B. $(2,+\infty )$　　　C. $(2,3)\cup (3,+\infty )$　　　D. $(2,4)\cup (4,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x-2>0$ → $x>2$。
2. ${\log }_2(x-2)\ne 0$ → $x-2\ne 1$ → $x\ne 3$。
3. 定义域 $(2,3)\cup (3,+\infty )$ → C。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

要使函数有意义，需 $\{\begin{array}{l}x-2>0,\\ {\log }_2(x-2)\ne 0.\end{array}$ 由第一式得 $x>2$。 由第二式：${\log }_2(x-2)=0\iff x-2=1\iff x=3$，故 $x\ne 3$。 取交集得定义域为 $(2,3)\cup (3,+\infty ).$ 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数型分式函数的定义域

核心方法：需 $\{\begin{array}{l}x-2>0\\ {\log }_2(x-2)\ne 0\end{array}$ → $\{\begin{array}{l}x>2\\ x-2\ne 1\end{array}$ → $x>2$ 且 $x\ne 3$ → $(2,3)\cup (3,+\infty )$

避坑指南：分母 ${\log }_2(x-2)$ 的限制有两条：真数 $x-2>0$，且分母不为零即 ${\log }_2(x-2)\ne 0\iff x\ne 3$；只顾真数非正而漏掉”分母非零”是本题最常见错误（会误选 B）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数型分式函数的定义域。

结论推广：真数大于零；分母不为零；解不等式组。

方法推广：列两条限制 → 解 $x-2>0$ 与 $x\ne 3$ → 取交集写成区间并。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷文-11 填-函数定义域
• 2013-山东卷文-05 单-函数定义域
• 2013-安徽卷文-14 填-递推函数求值