2022-北京卷-14 填-分段函数最值

本题导读

本题考查分段函数。核心在于数形结合法、分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年北京卷） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}-ax+1,& x<a\\ (x-2{)}^2,& x\ge a\end{array}$。若 $f(x)$ 存在最小值，则 $a$ 的一个取值为 $\underline{}$；$a$ 的最大值为 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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本题考查分段函数存在最小值时的参数范围求法。

函数分为两段：左侧是一次函数射线（开区间 $x<a$），右侧是二次函数抛物线的一部分（闭区间 $x\ge a$）。

“函数存在最小值”意味着：

1. 当 $x\to -\infty$ 时，函数值不能趋于 $-\infty$，这就要求左侧射线的斜率 $-a\le 0$。

2. 左侧区间是开区间 $x<a$，它在端点处只能取得“下确界”但取不到最小值。因此，若要整个函数有最小值，这个最小值必须在右侧的闭区间 $x\ge a$ 上取得，并且右侧的最小值必须 小于或等于 左侧的下确界，否则函数会无限跌入左侧的深渊而无法取到最小值。

✅【答案】

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$0$（填 $[0,1]$ 区间内的任意实数均可）；$1$

✍【详细解析】

Abstract

解法一：数形结合分类讨论

对分段点 $a$ 与二次函数对称轴 $x=2$ 的相对位置，以及一次函数的单调性进行分类讨论：

① 当 $a<0$ 时：

对于 $x<a$，直线 $y=-ax+1$ 的斜率 $-a>0$，函数单调递增。

当 $x\to -\infty$ 时，$f(x)\to -\infty$。函数无最小值，不合题意。

② 当 $a=0$ 时：

$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x<0\\ (x-2{)}^2,& x\ge 0\end{array}$

左侧恒为 $1$；右侧在 $x=2$ 时取得最小值 $0$。整个函数的最小值为 $0$，符合题意。

③ 当 $0<a<2$ 时：

对于 $x<a$，函数单调递减，由于是开区间，其下确界为 $f(a^{-})=-a^2+1$（取不到）。

对于 $x\ge a$，二次函数包含其顶点 $x=2$，所以右侧能取到的最小值为 $f(2)=0$。

要使整个函数有最小值，必须满足：右侧的最小值 $\le$ 左侧的下确界。

即 $0\le -a^2+1$，解得 $-1\le a\le 1$。

结合前提 $0<a<2$，得出此时 $a$ 的取值范围是 $0<a\le 1$。

④ 当 $a=2$ 时：

左侧下确界为 $-2^2+1=-3$。右侧最小值为 $f(2)=0$。

因为右侧最小值 $0>-3$（左侧下确界），当 $x$ 从左侧趋近于 $2$ 时，函数值趋近于 $-3$ 但永远取不到，故无最小值，不合题意。

⑤ 当 $a>2$ 时：

对于 $x\ge a$，二次函数在 $[a,+\infty )$ 上单调递增，最小值为边界值 $f(a)=(a-2{)}^2$。

对于 $x<a$，左侧下确界为 $-a^2+1$。

同理，需满足：右侧最小值 $\le$ 左侧下确界。

即 $(a-2{)}^2\le -a^2+1⟹2a^2-4a+3\le 0$。

由于判别式 $\Delta =16-24=-8<0$，该不等式无实数解，不合题意。

综上所述，$a$ 的取值范围是 $[0,1]$。

因此，$a$ 的一个取值可以是 $0$（或 $1,0.5$ 等）；$a$ 的最大值为 $1$。

解法二：严谨代数分析（单调性与值域）

由一次函数 $f(x)=-ax+1(x<a)$ 的单调性入手：

① 若 $a<0$：

当 $x<a$ 时，$f(x)$ 单调递增，其值域为 $(-\infty ,-a^2+1)$。由于值域没有下限，故 $f(x)$ 没有最小值，舍去；

② 若 $a=0$：

$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x<0\\ (x-2{)}^2,& x\ge 0\end{array}$，显然 $f(x)$ 的值域为 $[0,+\infty )$，存在最小值 $0$，符合题意。

③ 若 $a>0$：

当 $x<a$ 时，$f(x)$ 单调递减，所以 $f(x)>f(a^{-})=-a^2+1$。

这说明左侧分支不能提供最小值，它只有一个“底线”（下确界）$-a^2+1$。

如果 $f(x)$ 存在最小值，这个最小值必须由右侧分支 $x\ge a$ 提供，且右侧算出的最小值必须 $\le -a^2+1$。

对于右侧分支 $f(x)=(x-2{)}^2(x\ge a)$，其最小值为：

$f(x{)}_{\text{右}\min }=\{\begin{array}{ll}0,& 0<a<2\\ (a-2{)}^2,& a\ge 2\end{array}$

建立不等式讨论：

情况(i)：当 $0<a<2$ 时，需满足 $0\le -a^2+1$，解得 $0<a\le 1$。

情况(ii)：当 $a\ge 2$ 时，需满足 $(a-2{)}^2\le -a^2+1$，整理得 $2a^2-4a+3\le 0$，无解。

综合①②③可得：$0\le a\le 1$。

故 $a$ 的一个取值为 $0$，最大值为 $1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

本题是经典的分段函数最值问题，综合考查了分类讨论思想和数形结合能力，难度中等偏上。

考点归纳：

1. 开区间分支无最值：遇到某一段函数的定义域是开区间（如 $x<a$）时，该段在端点处只能产生“确界”而无法取得极值/最值。

2. 全局最值的存在性定理：若分段函数要存在全局最小值，那么闭区间分支所能取到的局部最小值，必须小于或等于其他开区间分支的下确界。一旦开区间的下确界更小，函数就会像跌入无底洞一样，无限逼近该确界却取不到，从而导致全局无最值。

易错点提示：

1. 单调性遗漏：忘记讨论 $a<0$ 的情况，没有意识到当一次项系数大于 $0$ 时，$x\to -\infty$ 会导致函数值趋于负无穷。

2. 分类标准模糊：在处理右侧二次函数时，没有将分界点 $a$ 与抛物线对称轴 $x=2$ 进行比较，导致无法正确写出右侧的最小值表达式。

3. 等号取舍错误：在列不等式 右侧最小值 $\le$ 左侧下确界 时，容易纠结能不能取等号。只要真正的最小值是在闭区间里实打实“取到”的，它就算等于开区间的那个“摸不到的底线”，全局最小值依然是成立的，因此必须有等号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-16 填-分段函数
• 2013-陕西卷理-08 单-分段函数
• 2013-山东卷理-03 单-函数奇偶性