2022-天津卷-07 单-抛物线双曲线

本题导读

本题考查抛物线的性质，以及双曲线的性质。

📌【题干】

Question

（2022年天津卷） 已知抛物线方程为 $y^2=4\sqrt{5}x$，$F_1,F_2$ 分别是双曲线方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的左、右焦点。抛物线的准线过双曲线的左焦点 $F_1$，且准线与双曲线的一条渐近线交于点 $A$。若 $\angle F_1{F}_{2}A=\frac{\pi }{4}$，则双曲线的标准方程为()

A. $\frac{x^2}{10}-y^2=1$　　　　　　　　　　　　　　B. $x^2-\frac{y^2}{16}=1$

C. $x^2-\frac{y^2}{4}=1$　　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{4}-y^2=1$

🔍【思路分析】

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本题的核心突破口在于识别图形特征：

1. 确定 $c$ 值：抛物线的准线与双曲线焦点的重合关系可以直接得出双曲线的半焦距 $c$。

2. 确定点 $A$ 坐标：点 $A$ 是准线（垂直于 $x$ 轴的直线）与渐近线的交点。

3. 利用角度关系：$\angle F_1{F}_{2}A=\frac{\pi }{4}$ 结合 $A{F}_1\perp F_1{F}_2$，意味着 $△A{F}_1{F}_2$ 是一个等腰直角三角形，从而建立 $a,b,c$ 之间的比例关系。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析抛物线得到准线方程

由抛物线 $y^2=4\sqrt{5}x$ 可知，$2p=4\sqrt{5}$，则 $\frac{p}{2}=\sqrt{5}$。

其准线方程为 $x=-\sqrt{5}$。

第二步：确定双曲线的参数 $c$

由于抛物线的准线过双曲线的左焦点 $F_1(-c,0)$，

所以 $-c=-\sqrt{5}$，即 $c=\sqrt{5}$。

从而 $c^2=5$。

第三步：确定点 $A$ 的坐标

双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。

准线 $x=-c$ 与渐近线交于点 $A$，不妨取 $A$ 在第一、二象限，则点 $A$ 的坐标为：

$A\left(-c,\frac{bc}{a}\right)$。

第四步：利用几何关系求解 $a,b$

在 $△A{F}_1{F}_2$ 中：

• $F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，则底边 $|F_1{F}_2|=2c$。

• 因为 $A{F}_1\perp F_1{F}_2$，所以 $△A{F}_1{F}_2$ 是直角三角形。

• 已知 $\angle F_1{F}_{2}A=\frac{\pi }{4}$（即 $45^{\circ }$），

• 因此 $△A{F}_1{F}_2$ 为等腰直角三角形，满足 $|A{F}_1|=|F_1{F}_2|$。

  即：$\frac{bc}{a}=2c\Rightarrow \frac{b}{a}=2\Rightarrow b=2a$。

第五步：代入基本关系式

根据双曲线性质 $c^2=a^2+b^2$：

$5=a^2+(2a{)}^2=5a^2$

解得 $a^2=1$，$b^2=4$。

所以双曲线的标准方程为 $x^2-\frac{y^2}{4}=1$。

故选：C。

本题考查了圆锥曲线的基础性质，重点在于对“准线过焦点”和“特殊角度”的转化。相比于纯代数计算，利用“等腰直角三角形”这一几何特征可以极大地提高解题速度，体现了数形结合思想在解析几何中的重要性。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 等腰直角三角形模型：在解析几何中，看到 $45^{\circ }$ 结合垂直关系，应立即联想到 $1:1:\sqrt{2}$ 的边长比例。

2. 参数转换：双曲线中 $a,b$ 的比值决定了渐近线的斜率，也决定了过焦点的垂线段（通径相关）与焦距的关系。

3. 易错点：注意区分双曲线 $c^2=a^2+b^2$ 与椭圆 $a^2=b^2+c^2$ 的公式差异。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷理-16 填-渐近线
• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率
• 2012年陕西卷理-20