2022-天津卷-10 填-复数除法

本题导读

本题考查复数的除法运算，以及共轭复数。

📌【题干】

Question

（2022年天津卷） 已知 $i$ 是虚数单位，化简 $\frac{11-3i}{1+2i}$ 的结果为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

本题属于复数的代数运算。解题的核心在于“分母实数化”：将分子、分母同时乘以分母的共轭复数，利用平方差公式消除分母中的虚数单位 $i$，随后根据多项式乘法法则展开分子并合并同类项，最后化简为复数的标准形式 $a+bi$。

✅【答案】

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$1-5i$

✍【详细解析】

Abstract

解题步骤：

1. 分母实数化：

   为了去掉分母中的虚部，我们需要给分子和分母同时乘以分母 $1+2i$ 的共轭复数 $1-2i$。

   $\frac{11-3i}{1+2i}=\frac{(11-3i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}$

2. 分母计算：

   利用平方差公式 $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$：

   $(1+2i)(1-2i)=1^2-(2i{)}^2=1-(-4)=5$

3. 分子计算：

   利用多项式乘法，并注意 $i^2=-1$：

   (11-3i)(1-2i) = 11 - 22i - 3i + 6i^2$$$$= 11 - 25i + 6(-1)$$$$= 11 - 25i - 6$$$$= 5 - 25i

4. 化简得出结果：

   $\frac{5-25i}{5}=\frac{5}{5}-\frac{25i}{5}=1-5i$

故填：$1-5i$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 复数除法的核心逻辑

复数除法的本质是“分母实数化”。类似于根式运算中的“分母有理化”，其核心工具是共轭复数。若分母为 $a+bi$，则分子分母同乘 $a-bi$。

2. 常用计算公式

在复数运算中，以下公式可以显著提高运算速度并减少失误：

• 共轭乘积：$(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$（注意中间是加号，因为 $i^2=-1$）。

• 完全平方：$(1\pm i{)}^2=\pm 2i$（高考较高频考点）。

3. 易错点警示

• 符号错误：在分子展开时，最后两项相乘 $(-3i)\times (-2i)=6i^2=-6$，学生容易在此处忽略 $i^2=-1$ 而错写成 $+6$。

• 除法分配：最后分式化解为 $a+bi$ 形式时，分母必须同时除以实部和虚部。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2009-辽宁卷-02
• 2012-天津卷文-01 单-复数除法运算
• 2012-新课标卷文-02 单-复数的除法运算