2012-江西卷文-17 解-Sn求通项与错位相减

本题导读

本题考查由求。核心在于错位相减法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=k{c}^n-k$（其中 $c$，$k$ 为常数），且 $a_2=4$，$a_6=8a_3$.

(1) 求 $a_n$；

(2) 求数列 $\{n{a}_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.

🔍【思路分析】

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$c^3=8\Rightarrow c=2$，$a_n=2^n$；$T_n=2+(n-1)\cdot 2^{n+1}$。

✅【答案】

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(1) $a_n=2^n$；(2) $T_n=2+(n-1)\cdot 2^{n+1}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $n⩾2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=k(c^n-c^{n-1})=k(c-1)c^{n-1}$，$\{a_n\}$（$n⩾2$）是公比为 $c$ 的等比数列。

由 $a_6=8a_3$ 得 $c^3=8$，故 $c=2$（取实）。

又 $a_2=kc(c-1)=2k=4$，得 $k=2$。

此时 $S_n=2\cdot 2^n-2=2^{n+1}-2$，对 $n=1$ 也成立（$a_1=S_1=2$，而 $k(c-1)c^0=2$，一致），故 $a_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n$。

(2) $T_n=\sum _{i=1}^{n}i\cdot 2^i=1\cdot 2+2\cdot 2^2+\cdots +n\cdot 2^n$。

错位相减：$2T_n=1\cdot 2^2+2\cdot 2^3+\cdots +n\cdot 2^{n+1}$，

两式相减：$T_n=n\cdot 2^{n+1}-(2+2^2+\cdots +2^n)=n\cdot 2^{n+1}-\frac{2(2^n-1)}{2-1}=n\cdot 2^{n+1}-2^{n+1}+2$。

故 $T_n=2+(n-1)\cdot 2^{n+1}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：$S_n$ 与 $a_n$ 的关系（$n⩾2$ 作差）；指数方程定参；错位相减法求数列前 $n$ 项和

核心方法：“作差定通项 → 条件定参 → 错位相减”三段式；错位相减后补等比求和

避坑指南：作差得到的通项只对 $n⩾2$ 成立，必须回代 $n=1$ 验证（本题 $S_1=2c^1-2=2$ 与 $a_1=2$ 相符，通项对 $n=1$ 也成立）；错位相减最后一步 $2T_n-T_n$ 共 $n$ 项，等比部分是 $2$ 到 $2^n$ 共 $n$ 项，漏项或符号错是常见失分点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由 $S_n$ 求通项与错位相减综合大题，与 2012 年浙江卷文第 19 题、2012 年天津卷文第 18 题同族。

结论推广：$S_n=A{c}^n+B$ 型（$A\ne 0$，$c\ne 0,1$）当且仅当 $B=-A$ 时 $\{a_n\}$ 为等比数列，本题 $B=-k=-A$ 恰好满足；$\sum i\cdot 2^i=2+(n-1)2^{n+1}$ 可作结论记忆。

方法推广：数列大题流程：$S_n\to a_n$（作差 + 验 $n=1$）→ 用题设条件列参数方程 → 求和按”等差 × 等比”识别错位相减，写清减法对齐与等比求和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2012-浙江卷文-19 解-数列通项与错位相减
• 2012-天津卷文-18 解-等差等比数列错位相减
• 2013-山东卷文-20 解-等差数列错位相减