2022-新高考II卷-14 填-导数几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及复合函数求导。

📌【题干】

Question

（2022年新高考II卷） 曲线 $y=\ln |x|$ 过坐标原点的两条切线的方程为 $\underline{}$，$\underline{}$。

🔍【思路分析】

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1. 处理绝对值与对称性：观察函数 $f(x)=\ln |x|$，定义域为 $x\ne 0$。因为 $f(-x)=\ln |-x|=\ln |x|=f(x)$，所以该函数是偶函数，其图象关于 $y$ 轴对称。这意味着如果存在一条过原点（原点在对称轴上）的切线，那么必然存在另一条关于 $y$ 轴对称的切线。
2. 化简求单侧切线：由于对称性，我们只需研究 $x>0$ 时的情况。此时 $y=\ln x$。
3. 标准切线求法（设切点）：

• 设切点坐标为 $(x_0,\ln x_0)$。
• 求导数 $y^{\prime }=\frac{1}{x}$，得到切线斜率 $k=\frac{1}{x_0}$。
• 写出切线方程。
• 将已知过点 $(0,0)$ 代入方程，解出 $x_0$。

4. 得出结论并利用对称性：求出 $x>0$ 时的切线方程后，将其斜率取相反数，即可得到另一条切线方程。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析函数性质 已知函数 $f(x)=\ln |x|$。 定义域为 $x\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$。 因为 $f(-x)=\ln |-x|=\ln |x|=f(x)$，所以 $f(x)$ 为偶函数，图象关于 $y$ 轴对称。

第二步：求 $x>0$ 时的切线 当 $x>0$ 时，$f(x)=\ln x$。 设切点为 $P(x_0,y_0)$，则 $y_0=\ln x_0$。 对 $f(x)$ 求导：$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$。 在该切点处的切线斜率 $k=f^{\prime }(x_0)=\frac{1}{x_0}$。 根据点斜式，切线方程为：$y-\ln x_0=\frac{1}{x_0}(x-x_0)$。

第三步：利用过原点条件解出切点 因为切线经过坐标原点 $(0,0)$，将 $(0,0)$ 代入上述切线方程： $0-\ln x_0=\frac{1}{x_0}(0-x_0)$ $-\ln x_0=-1$ 解得：$\ln x_0=1⟹x_0=\text{e}$。 此时，切点为 $(\text{e},1)$，切线斜率 $k=\frac{1}{\text{e}}$。 切线方程为 $y=\frac{1}{\text{e}}x$，即 $x-\text{e}y=0$。

第四步：利用对称性求另一条切线 因为函数图象关于 $y$ 轴对称，且切线均经过位于对称轴上的原点 $(0,0)$。 所以当 $x<0$ 时，其切线必然与 $y=\frac{1}{\text{e}}x$ 关于 $y$ 轴对称。 关于 $y$ 轴对称的直线斜率互为相反数，故另一条切线斜率为 $k^{\prime }=-\frac{1}{\text{e}}$。 其方程为 $y=-\frac{1}{\text{e}}x$，即 $x+\text{e}y=0$。

故答案为：$x-\text{e}y=0$，$x+\text{e}y=0$（或写成 $y=\frac{1}{\text{e}}x,y=-\frac{1}{\text{e}}x$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 切线问题的“万能钥匙”：无论是“在某点处”还是“过某点”，只要题目涉及切线，第一步永远是设切点 $(x_0,f(x_0))$。千万不要将“过某点”的这个点直接当作切点代入导数中。
2. 偶函数的切线特征：若偶函数存在过 $y$ 轴上一点（如原点）的切线，则这些切线必然成对出现，且斜率互为相反数。这一几何直观可以省去一半的代数计算。
3. 绝对值函数的处理：遇到带有绝对值的函数求导，最稳妥的方法是去绝对值，分段讨论。本题中由于只需要求单侧切线，去绝对值化为了基础对数函数。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：如果题目要求求曲线 $y={\text{e}}^{|x|}$ 过点 $(0,0)$ 的切线方程，会有几条？ (提示：可以先画个草图。$y={\text{e}}^x(x>0)$ 的图象在第一象限，过原点作切线。设切点 $(x_0,{\text{e}}^{x_0})$，则 $\frac{{\text{e}}^{x_0}}{x_0}={\text{e}}^{x_0}⟹x_0=1$。切线为 $y=\text{e}x$。利用对称性另一条为 $y=-\text{e}x$。所以也是两条。)
• 常见切线结论：过原点作 $y=\ln x$ 的切线，切点必为 $(\text{e},1)$，斜率为 $\frac{1}{\text{e}}$；过原点作 $y={\text{e}}^x$ 的切线，切点必为 $(1,\text{e})$，斜率为 $\text{e}$。这是高考中较高频出现的“熟知结论”，建议作为常识记忆。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-13 填-根式对数定义域
• 2009-福建卷文-15 填-导数切线存在
• 2013-广东卷理-10 填-切线斜率