2022-新高考II卷-18 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理。核心在于恒等变形法、边角转化法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年新高考II卷） 记 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，分别以 $a,b,c$ 为边长的三个正三角形的面积依次为 $S_1,S_2,S_3$。已知 $S_1-S_2+S_3=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin B=\frac{1}{3}$。

（1）求 $△ABC$ 的面积；

（2）若 $\sin A\sin C=\frac{\sqrt{2}}{3}$，求 $b$。

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求面积）：

• 面积转化：利用正三角形面积公式 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2$，将已知条件 $S_1-S_2+S_3=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 转化为关于边长平方的代数式 $a^2-b^2+c^2=2$。
• 结合余弦定理：看到 $a^2+c^2-b^2$，联想到余弦定理 $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$。
• 求值与面积：根据 $\sin B$ 及隐含的角范围求出 $\cos B$，代入余弦定理求得 $ac$ 的值，最后套用面积公式 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$。

2. 第二问（求边长）：

• 正弦定理边角互化：已知角的关系 $\sin A\sin C$，要求边 $b$，且第一问已求出边之积 $ac$。根据正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B}$，将 $a,c$ 分别用 $b$ 和对应角的正弦值表示。
• 代数求解：得出 $ac=\frac{b^2\sin A\sin C}{{\sin }^{2}B}$，代入已知数据即可解得 $b^2$，进而求出 $b$。

✅【答案】

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(1) $A=\frac{\pi }{3}$ 或 $\frac{2\pi }{3}$（见解析）

(2) $b=\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $△ABC$ 的面积： 分别以 $a,b,c$ 为边长的正三角形面积为 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}\times {\text{边长}}^2$。 则 $S_1=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$，$S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}{b}^2$，$S_3=\frac{\sqrt{3}}{4}{c}^2$。 代入已知条件 $S_1-S_2+S_3=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 中，得： $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2-\frac{\sqrt{3}}{4}{b}^2+\frac{\sqrt{3}}{4}{c}^2=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 两边同时乘以 $\frac{4}{\sqrt{3}}$，化简得： $a^2-b^2+c^2=2$ （记为 ①）

在 $△ABC$ 中，由余弦定理知 $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$。 将 ① 代入得：$\cos B=\frac{2}{2ac}=\frac{1}{ac}$。 因为 $a^2+c^2-b^2=2>0$，且 $a,c>0$，所以 $\cos B>0$，即 $\angle B$ 为锐角。 已知 $\sin B=\frac{1}{3}$，则 $\cos B=\sqrt{1-{\sin }^{2}B}=\sqrt{1-(\frac{1}{3}{)}^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。 所以 $\frac{1}{ac}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，解得 $ac=\frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$。 $△ABC$ 的面积 $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\times \frac{3\sqrt{2}}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}}{8}$。 故 $△ABC$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{8}$。

(2) 若 $\sin A\sin C=\frac{\sqrt{2}}{3}$，求 $b$： 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 可得： $a=\frac{b\sin A}{\sin B}$， $c=\frac{b\sin C}{\sin B}$。 两式相乘得：$ac=\frac{b^2\sin A\sin C}{{\sin }^{2}B}$。 将已知数据 $ac=\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\sin B=\frac{1}{3}$，$\sin A\sin C=\frac{\sqrt{2}}{3}$ 代入上式： $\frac{3\sqrt{2}}{4}=\frac{b^2\cdot \frac{\sqrt{2}}{3}}{(\frac{1}{3}{)}^2}$ $\frac{3\sqrt{2}}{4}=\frac{b^2\cdot \frac{\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{9}}$ $\frac{3\sqrt{2}}{4}=3\sqrt{2}{b}^2$ 两边同时除以 $3\sqrt{2}$ 得：$b^2=\frac{1}{4}$。 因为在 $△ABC$ 中边长 $b>0$，所以 $b=\frac{1}{2}$。 故边长 $b$ 为 $\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 面积关系识别：在解三角形问题中，看到“正三角形面积”或“正方形面积”，应迅速联想到其关于边长的平方关系（$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ 或 $a^2$）。这是命题人包装 $a^2+c^2-b^2$ 或 $a^2+b^2+c^2$ 等代数结构的常用手法。
2. 符号判定的严密性：从 $\sin B$ 推导 $\cos B$ 时，必须判断正负。本题通过 $a^2+c^2-b^2=2>0$ 这一隐含条件确定了 $B$ 是锐角，确保 $\cos B$ 取正值。如果缺少这一步判断，在阅卷中会被扣除关键的过程分。
3. 边角互化公式的熟练度：第二问中，直接利用 $ac=b^2\cdot \frac{\sin A\sin C}{{\sin }^{2}B}$ 进行整体代换，比先算外接圆半径 $2R$ 再代入要更加直接和高效。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：如果第二问改为已知 $a+c=2\sqrt{2}$，求 $b$ 的值，应该如何计算？ (提示：已知 $a+c$ 以及第一问求出的 $ac$，可以利用完全平方公式 $(a+c{)}^2=a^2+c^2+2ac$ 求出 $a^2+c^2$，再结合关系式 $a^2+c^2-b^2=2$ 即可解出 $b$。)

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2008-大纲卷I文-17 解-解三角形求边周长
• 2008-大纲卷II文-17 解-解三角形求角面积