2022-新高考II卷-19 解-条件概率

本题导读

本题考查频率分布直方图的应用。核心在于频率加权平均法、条件概率公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年新高考II卷） 在某地区进行流行病学调查，随机调查了 100 位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：


（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 $[20,70)$ 的概率；

（3）已知该地区这种疾病的患者的患病率为 $0.1\%$，该地区年龄位于区间 $[40,50)$ 的人口占该地区总人口的 $16\%$。从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 $[40,50)$，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到 0.0001）。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（平均数估计）：根据频率分布直方图，平均数 $\bar{x}=\sum (\text{组中值}\times \text{该组频率})$。注意频率等于纵坐标（$\frac{频率}{组距}$）乘以组距 $10$。
2. 第二问（区间概率估计）：利用频率估计概率。将 $[20,70)$ 包含的 5 个小矩形的面积相加即可。
3. 第三问（条件概率）：

• 定义事件：设 $C$ 为“患该疾病”，$B$ 为“年龄在 $[40,50)$”。
• 梳理已知：总患病率 $P(C)=0.1\%=0.001$；总人口中该年龄段占比 $P(B)=16\%=0.16$；由直方图可知，患者中年龄在该区间的概率 $P(B|C)=0.023\times 10=0.23$。
• 目标转化：求“若此人年龄在 $[40,50)$，他患病的概率”，即求已知 $B$ 发生的前提下 $C$ 发生的概率 $P(C|B)$。
• 公式计算：$P(C|B)=\frac{P(BC)}{P(B)}=\frac{P(C)P(B|C)}{P(B)}$，代入数据计算并保留四位小数。

✅【答案】

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(1) 见解析

(2) $0.0014$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 估计患者的平均年龄 $\bar{x}$： 由频率分布直方图可知，组距为 $10$。各组的频率为对应矩形的面积（即纵坐标 $\times 10$）： $[0,10)$ 频率：$0.001\times 10=0.01$，组中值 $5$； $[10,20)$ 频率：$0.002\times 10=0.02$，组中值 $15$； $[20,30)$ 频率：$0.012\times 10=0.12$，组中值 $25$； $[30,40)$ 频率：$0.017\times 10=0.17$，组中值 $35$； $[40,50)$ 频率：$0.023\times 10=0.23$，组中值 $45$； $[50,60)$ 频率：$0.020\times 10=0.20$，组中值 $55$； $[60,70)$ 频率：$0.017\times 10=0.17$，组中值 $65$； $[70,80)$ 频率：$0.006\times 10=0.06$，组中值 $75$； $[80,90]$ 频率：$0.002\times 10=0.02$，组中值 $85$。 该地区这种疾病患者的平均年龄估计值为： $\bar{x}=5\times 0.01+15\times 0.02+25\times 0.12+35\times 0.17+45\times 0.23+55\times 0.20+65\times 0.17+75\times 0.06+85\times 0.02$ $=0.05+0.3+3.0+5.95+10.35+11.0+11.05+4.5+1.7=47.9$。

答：该地区这种疾病患者的平均年龄估计为 $47.9$ 岁。

(2) 估计年龄位于 $[20,70)$ 的概率： 由直方图可知，年龄位于 $[20,70)$ 的频率为这 $5$ 组频率之和： $P=(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)\times 10=0.089\times 10=0.89$。 以频率估计概率，该概率为 $0.89$。

(3) 求特定年龄段人群的患病概率： 设事件 $C$ 为“任选一人患这种疾病”，事件 $B$ 为“任选一人年龄位于区间 $[40,50)$”。 由已知条件得： 该地区总患病率 $P(C)=0.1\%=0.001$； 该年龄段人口占比 $P(B)=16\%=0.16$； 直方图表示的是患者的年龄分布，因此“患者中年龄在 $[40,50)$ 的概率”为条件概率 $P(B|C)=0.023\times 10=0.23$。

题目要求计算的是“若此人的年龄位于区间 $[40,50)$，求此人患这种疾病的概率”，即求条件概率 $P(C|B)$。 由条件概率乘法公式 $P(BC)=P(C)P(B|C)$， 可得 $P(C|B)=\frac{P(BC)}{P(B)}=\frac{P(C)P(B|C)}{P(B)}$。 代入数据得： $P(C|B)=\frac{0.001\times 0.23}{0.16}=\frac{0.00023}{0.16}=\frac{23}{16000}=0.0014375$。 精确到 $0.0001$，结果约为 $0.0014$。

答：此人患这种疾病的概率约为 $0.0014$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 直方图计算的细心：虽然公式简单（$\sum x_i{p}_i$），但 9 组数据的乘加极易因按错计算器或手算失误导致丢分。建议在草稿纸上列表对齐计算，并初步估算平均数应该落在面积最大的几个矩形下方（即 40-60 之间），以此检验结果 $47.9$ 的合理性。
2. 读懂直方图的“条件性”：本题最容易掉入的陷阱是把直方图中的 $0.23$ 当成 $P(BC)$。注意题干写的是“调查了 100 位某种疾病患者的年龄”，说明直方图里的所有数据都是在“已患病”这个大前提（条件）下产生的，所以对应的概率是 $P(\text{年龄}|\text{患病})$ 即 $P(B|C)$。
3. 贝叶斯公式的通俗化：第三问实质上是贝叶斯公式“由果溯因”的思想的体现。处理这类“绕脑子”的概率题，最稳妥的方法就是老老实实地定义事件字母，写出要求的概率符号 $P(X|Y)$，然后默写公式套数据，绝不凭直觉瞎乘除。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 直观理解法：如果觉得条件概率公式太抽象，可以用“具体人数法”来做第三问。假设该地区总人口为 $100000$ 人。

• 则该年龄段 $[40,50)$ 的总人数为 $100000\times 16\%=16000$ 人。
• 全地区患病总人数为 $100000\times 0.1\%=100$ 人。
• 这 $100$ 个患者中，年龄在 $[40,50)$ 的人数为 $100\times 0.23=23$ 人。
• 现在从该年龄段的 $16000$ 人中抽一人，他患病（即属于那 $23$ 人）的概率为 $\frac{23}{16000}\approx 0.0014$。 这种方法逻辑更加具象，能在考场上作为双重检验的手段。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算
• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2006-重庆卷理-06 单-频数与频率的关系
• 2007-山东卷理-08 单-频率频数转化
• 2007-山东卷理-18 解-条件概率