2022-新高考I卷-05 单-古典概型

本题导读

本题考查古典概型的定义与概率计算公式，以及排列组合。

📌【题干】

Question

（2022年新高考I卷） 从 $2$ 至 $8$ 的$7$ 个整数中随机取 $2$ 个不同的数，则这 $2$ 个数互质的概率为()

A. $\frac{1}{6}$　　　　　　　B. $\frac{1}{3}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定基本事件总数：利用组合数公式 ${\text{C}}_n^k$ 计算从 $7$ 个元素中选取 $2$ 个的所有可能结果。
2. 筛选符合条件的事件：

• 直接法（枚举）：逐一列举出所有互质（最大公约数为 1）的数对。
• 间接法（正难则反）：先找出不互质（有大于 1 的公约数）的数对，再用 1 减去其概率。

3. 计算概率：利用 $P(A)=\frac{m}{n}$ 得出结论。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定样本空间总数 从 $7$ 个整数中取出 $2$ 个不同的数，共有： $n={\text{C}}_7^2=\frac{7\times 6}{2\times 1}=21$（种）。

第二步：计算互质的数对（间接法更快捷） 我们先寻找不互质的数对（即两数有公约数 $2$ 或 $3$）：

1. 公约数为 2 的数对：从偶数 $\{2,4,6,8\}$ 中任选 $2$ 个，共有 ${\text{C}}_4^2=6$ 种。 分别是：$\{2,4\},\{2,6\},\{2,8\},\{4,6\},\{4,8\},\{6,8\}$。

2. 公约数为 3 的数对：从 $\{3,6\}$ 中任选 $2$ 个，共有 ${\text{C}}_2^2=1$ 种。 即：$\{3,6\}$。

3. 检查重复：上述两类中，唯一含 $6$ 的组合 $\{3,6\}$ 不在偶数组合中重复（因为 $3$ 是奇数），故不互质的数对总数为 $6+1=7$ 种。

第三步：计算概率 互质的数对总数为 $21-7=14$ 种。 故这 $2$ 个数互质的概率为： $P=\frac{14}{21}=\frac{2}{3}$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 古典概型的核心：确保每一个基本事件发生的可能性是相等的，并且统计过程做到“不重不漏”。
2. 互质的直观判定：

• 相邻的两个整数一定互质。
• 两个不同的质数一定互质。
• 一个质数与另一个不是其倍数的数一定互质。

3. 策略选择：在概率题中，当正面情况较多或较杂时，“正难则反”通过计算补集概率通常能显著降低出错率。本题中寻找“偶数对”和“3的倍数对”比直接枚举 14 种情况更不容易遗漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：若采用直接枚举，建议按从小到大的顺序锁定第一个数：
  • 2与：3, 5, 7 (3对)
  • 3与：4, 5, 7, 8 (4对)
  • 4与：5, 7 (2对)
  • 5与：6, 7, 8 (3对)
  • 6与：7 (1对)
  • 7与：8 (1对) 总计 $3+4+2+3+1+1=14$ 对。
• 变式思考：如果改为“随机抽取 $2$ 个数（可以相同）”，概率会如何变化？（注意此时总数变为 $7\times 7$，互质判定不变）。
• 名师寄语：概率题看似简单，实则陷阱重重。在列举不互质数对时，$\{3,6\}$ 这种含有不同质因数的组合最容易被粗心忽略。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷理-10 填-概率计算公式
• 2002-上海卷理-07 填-古典概型
• 2003-上海卷理-09