2014-上海卷理-10 填-概率计算公式

本题导读

本题考查古典概型的基本计算。通过组合数确定基本事件总数，并利用“整体捆绑”或“滑动窗口”的思想枚举出连续日期的符合要求的情况数。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(理)） 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 $10$ 天中随机选择 $3$ 天进行紧急疏散演练，则选择的 $3$ 天恰好为连续 $3$ 天的概率是 $\underline{}$（结果用最简分数表示）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定基本事件总数：从 $10$ 天中随机选 $3$ 天，这是一个不考虑顺序的组合问题，总数为 $C_{10}^3$。
2. 确定符合条件的情况数：要求选出的 $3$ 天是连续的。我们可以将这连续的 $3$ 天看作一个“整体窗口”，在 $10$ 天的序列中滑动。
   • 例如：(1,2,3), (2,3,4), …, 直到 (8,9,10)。
3. 计算概率：利用公式 $P(A)=\frac{m}{n}$ 求解。

✅【答案】

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$\frac{1}{15}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算总的选取方法数 从 $10$ 天中随机选取 $3$ 天的所有可能情况数为： $n=C_{10}^3=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120$

第二步：计算连续 3 天的方法数 我们将连续的 3 天记为一个集合 $\{i,i+1,i+2\}$：

• 当 $i=1$ 时，为第 1, 2, 3 天；
• 当 $i=2$ 时，为第 2, 3, 4 天；
• ……
• 当 $i+2=10$ 时，即 $i=8$，为第 8, 9, 10 天。 共有 $8-1+1=8$ 种连续的情况。

第三步：计算概率 $P=\frac{8}{120}$ 进行约分： $P=\frac{1}{15}$

故答案为 $\frac{1}{15}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型的定义，组合数的计算。

2. 核心方法：整体法。处理“连续”或“相邻”问题时，将目标元素视为一个整体进行排布或计数。

3. 避坑指南：计数连续天数时，可以用“最大编号 - 长度 + 1”即 $10-3+1=8$ 快速得出，避免手动枚举遗漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 插空法（解决不相邻问题）、捆绑法（解决相邻问题）。

2. 结论推广: 在 $n$ 天中选 $k$ 天，这 $k$ 天连续的概率为 $P=\frac{n-k+1}{C_n^k}$。

3. 方法推广: 整体法。处理“连续”或“相邻”问题时，将目标元素视为一个整体进行排布或计数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 22.01 计数原理、排列与组合
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

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