2022-新高考I卷-08 单-外接球体积

本题导读

本题考查正四棱锥的外接球性质，以及球的体积公式。

📌【题干】

Question

（2022年新高考I卷） 已知正四棱锥的侧棱长为 $l$，其各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 $36\pi$，且 $3⩽l⩽3\sqrt{3}$，则该正四棱锥体积的取值范围是()

A. $[18,\frac{81}{4}]$　　B. $[\frac{27}{4},\frac{81}{4}]$　　C. $[\frac{27}{4},\frac{64}{3}]$　　D. $[18,27]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定球半径：利用球体积公式 $\frac{4}{3}\pi R^3=36\pi$ 求出外接球半径 $R=3$。
2. 建立几何模型：设正四棱锥的底面边长为 $a$，高为 $h$。

• 在底面中心、顶点、球心构成的截面内，利用勾股定理建立 $R,h$ 与底面对角线一半的关系。
• 利用侧棱 $l$、高 $h$ 与底面对角线一半的关系消元。

3. 构造函数：将体积 $V=\frac{1}{3}{a}^{2}h$ 表达为关于单变量 $h$（或 $l$）的函数。
4. 确定定义域：根据 $3⩽l⩽3\sqrt{3}$ 确定变量的取值范围。
5. 求最值：利用导数求出函数在给定区间上的单调性及最大、最小值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【解法一】(统一为_h_)：如图所示，正四棱锥$P-ABCD$各顶点都在同一球面上，连接$AC$与$BD$交于点$E$，连接$PE$，则球心$O$在直线$PE$上，连接$OA$， 设正四棱锥的底面边长为$a$，高为$h$， 在$\mathrm{Rt}\mathrm{\Delta PAE}$中，$P{A}^2=A{E}^2+P{E}^2$，即$l^2=(\frac{\sqrt{2}a}{2}{)}^2+h^2=\frac{1}{2}{a}^2+h^2$， $\because$球$O$的体积为$36\pi$，$\therefore$球$O$的半径$R=3$， 在$\mathrm{Rt}\mathrm{\Delta OAE}$中，$O{A}^2=O{E}^2+A{E}^2$，即$R^2=(h-3{)}^2+(\frac{\sqrt{2}a}{2}{)}^2$， \therefore$$\frac{1}{2}{a}^{2}+{h}^{2}-6h=0，\therefore$$\frac{1}{2}{a}^{2}+{h}^{2}=6h， $\therefore l^2=6h$，又$\because 3⩽l⩽3\sqrt{3}$，\therefore$$\frac{3}{2}\leqslant h\leqslant \frac{9}{2}， $\therefore$该正四棱锥体积$V(h)=\frac{1}{3}{a}^{2}h=\frac{1}{3}(12h-2h^2)h=-\frac{2}{3}{h}^3+4h^2$， $\because V^{\prime }(h)=-2h^2+8h=2h(4-h)$， $\therefore$当$\frac{3}{2}⩽h<4$时，$V^{\prime }(h)>0$，$V(h)$单调递增；当$4<h⩽\frac{9}{2}$时，$V^{\prime }(h)<0$，$V(h)$单调递减， $\therefore V(h{)}_{max}=V$（4）$=\frac{64}{3}$， 又$\because V(\frac{3}{2})=\frac{27}{4}$，$V(\frac{9}{2})=\frac{81}{4}$，且$\frac{27}{4}<\frac{81}{4}$， \therefore$$\frac{27}{4}\leqslant V(h)\leqslant \frac{64}{3}， 即该正四棱锥体积的取值范围是$[\frac{27}{4}$，$\frac{64}{3}]$，

故选：$C$．

【解法二】(统一为_l_)：由球的体积为36π，得球的半径R=3. 设正四棱锥的底面边长为_a_，高为h，则$h^2$=$l^2$−$\frac{1}{2}{a}^2$，$R^2$=${(h-R)}^2$+$\frac{1}{2}{a}^2$，解得h=$\frac{l^2}{2R}=\frac{l^2}{6}$，$a^2$=2$l^2$−$\frac{l^4}{18}$,

于是正四棱锥的体积V=$\frac{1}{3}{a}^2$h=$\frac{l^2}{18}$(2$l^2$−$\frac{l^4}{18}$)，设$x=l^2\in [9,27]$， 则$V=\frac{1}{18}(2x^2-\frac{1}{18}{x}^3)$,

求导得$V^{\prime }$=$\frac{1}{18}(4x-\frac{1}{6}{x}^2)$), 由$V^{\prime }>0得9\le x<24$, 由$V^{\prime }<0得24<x\le 27,故V在[924]上增，在[24,27]上减，当x=24时V取最大值\frac{64}{3}$，当$x=9时，V取最小值\frac{27}{4}$，$V的取值范围是[\frac{27}{4},\frac{64}{3}]$.

注：亦可以运用三元基本不等式+边界值求解。

【试题评价】本题主要考查了正四棱锥的外接球问题，考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．

4. 结论： 故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 外接球问题的核心：找到“球心”的位置。对于正棱锥，球心一定在顶点到底面中心的垂线上。
2. 几何量关系的转化：利用截面图（通常是包含高和底面半径的三角形）建立 $R,h,r$（底面圆半径）之间的勾股定理关系是通法。
3. 变量选取的技巧：本题中统一为 $h$ 的函数比统一为 $l$ 的函数计算更简洁。
4. 易错点：计算 $a^2$ 时容易漏掉系数 $2$（对角线一半的平方与面积的关系）；导数求完后需对比两个端点值的大小以确定最小值。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：本题也可以利用 $h=\frac{l^2}{2R}$ 这一通项结论（对所有正棱锥外接球成立，其中 $l$ 为侧棱，$R$ 为外接球半径）。
• 变式思考：如果题目给定的是底面边长 $a$ 的范围，解题路径是否一致？
• 名师寄语：立体几何选择题的压轴往往是“几何建模+函数导数”。画准截面图是建立方程的第一步，剩下的就是考验你的代数功底了。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-08 单-球的截面与体积
• 2013-天津卷理-04 单-球的体积公式
• 2013-广东卷文-06 单-三视图体积