2022-浙江卷-08 单-空间角

本题导读

本题考查空间几何体中的角，以及正三棱柱的几何性质。

📌【题干】

Question

（2022年浙江卷） 如图，已知正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$，$AC=A{A}_1$，$E$，$F$ 分别是棱 $BC$，$A_1{C}_1$ 上的点．记 $EF$ 与 $A{A}_1$ 所成的角为 $\alpha$，$EF$ 与平面 $ABC$ 所成的角为 $\beta$，二面角 $F-BC-A$ 的平面角为 $\gamma$，则()

A. $\alpha ⩽\beta ⩽\gamma$　　　　　　　　B. $\beta ⩽\alpha ⩽\gamma$　　　　　　　　C. $\beta ⩽\gamma ⩽\alpha$　　　　　　　　D. $\alpha ⩽\gamma ⩽\beta$

🔍【思路分析】

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本题考查空间中三种基本角的大小比较。

直接计算这三个角的大小比较困难，因为点 $E,F$ 是动点。我们应当设法将这三个角集中到同一个几何构型中，利用三角函数（正切值）的单调性来进行比较。

1. 统一度量：因为是正三棱柱且 $AC=A{A}_1$，可以设所有棱长均为 $1$。

2. 找角/作角：

   • 过 $F$ 作底面的垂线段 $FG$。由正三棱柱性质可知 $FG\parallel A{A}_1$，从而找到线线角 $\alpha$。

   • 连接 $GE$，$GE$ 即为 $FE$ 在底面上的射影，从而找到线面角 $\beta$。

   • 过 $G$ 作 $BC$ 的垂线段 $GH$，利用三垂线定理找到面面角的平面角 $\gamma$。

3. 比较大小：将 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 的正切值表示为相关线段的比值。利用同一平面内“点到直线垂线段最短”及“直角三角形斜边大于直角边”的性质（即比较 $EG$ 与 $GH$ 的大小），即可得出正切值的大小关系。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 是正三棱柱，且 $AC=A{A}_1$，所以该三棱柱的所有侧棱均垂直于底面，且各个面均为正多边形或正方形。

不妨设正三棱柱的棱长为 $1$。

过点 $F$ 作 $FG\perp AC$，垂足为 $G$。因为侧面 $A_{1}AC{C}_1$ 垂直于底面 $ABC$，故 $FG\perp$ 底面 $ABC$，且有 $FG\parallel A{A}_1$。又因为 $F$ 在 $A_1{C}_1$ 上，可知 $G$ 在 $AC$ 上，且 $FG=A{A}_1=1$。

连接 $GE$。

第一步：分析线线角 $\mathbf{\alpha }$

因为 $A{A}_1\parallel FG$，所以 $EF$ 与 $A{A}_1$ 所成的角即为 $EF$ 与 $FG$ 所成的角（或其补角）。

在 $\text{Rt}△FGE$ 中，$\angle FGE=90^{\circ }$，所以 $\angle EFG$ 为锐角，即 $\alpha =\angle EFG$。

$\tan \alpha =\frac{GE}{FG}=\frac{GE}{1}=GE$

由于 $G$ 在线段 $AC$ 上，$E$ 在线段 $BC$ 上，底面 $ABC$ 是边长为 $1$ 的正三角形，显然两点间的最大距离不超过棱长（当 $G=A,E=B$ 时取得最大值 $1$），故 $GE\in [0,1]$。

因此，$\tan \alpha \in [0,1]$。

第二步：分析线面角 $\mathbf{\beta }$

因为 $FG\perp$ 平面 $ABC$，$G$ 为 $F$ 在底面上的射影，所以 $GE$ 是斜线 $FE$ 在平面 $ABC$ 上的射影。

故 $EF$ 与平面 $ABC$ 所成的角为 $\angle FEG$，即 $\beta =\angle FEG$。

在 $\text{Rt}△FGE$ 中：

$\tan \beta =\frac{FG}{GE}=\frac{1}{GE}$

因为 $GE\in (0,1]$（当点 $E,F$ 重合于一点在体现面对应位置时分母探讨极限，但本题构型下视其为一般位置），必有 $\frac{1}{GE}\in [1,+\infty )$。

综合第一步，显然有 $\tan \alpha ⩽1⩽\tan \beta$，因此 $\tan \mathbf{\alpha }⩽\tan \mathbf{\beta }$，（标记为结论①）。

第三步：分析面面角 $\mathbf{\gamma }$

过 $G$ 在平面 $ABC$ 内作 $GH\perp BC$，垂足为 $H$，连接 $FH$。

因为 $FG\perp$ 平面 $ABC$，$BC\subset$ 平面 $ABC$，所以 $FG\perp BC$。

又因为 $GH\perp BC$，且 $FG\cap GH=G$，所以 $BC\perp$ 平面 $FGH$。

又因为 $FH\subset$ 平面 $FGH$，所以 $BC\perp FH$。

（注：这就是经典的三垂线定理）。

因此，$\angle FHG$ 就是二面角 $F-BC-A$（或 $F-BC-G$）的平面角，即 $\gamma =\angle FHG$。

在 $\text{Rt}△FGH$ 中：

$\tan \gamma =\frac{FG}{GH}=\frac{1}{GH}$

由于 $GH$ 为直角三角形 $ABC$ 内的点到边的高，同样满足 $GH\in [0,1]$，故 $\tan \gamma \in [1,+\infty )$。

第四步：比较 $\mathbf{\beta }$ 与 $\mathbf{\gamma }$

在底面平面 $ABC$ 内观察 $△GHE$。因为 $GH\perp BC$，所以 $\angle GHE=90^{\circ }$。

在 $\text{Rt}△GHE$ 中，$GE$ 是斜边，$GH$ 是直角边（即点 $G$ 到直线 $BC$ 的距离）。

根据“直角三角形斜边大于等于直角边”（或点到直线距离最短），我们有：

$GE⩾GH$

因为它们都在分母上，所以取倒数后不等号方向改变：

$\frac{1}{GE}⩽\frac{1}{GH}$

代入正切值表达式，得到：

$\tan \mathbf{\beta }⩽\tan \mathbf{\gamma }$，（标记为结论②）。

第五步：得出最终结论

由结论①和②可得：$\tan \alpha ⩽\tan \beta ⩽\tan \gamma$。

因为 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 均属于 $[0,\frac{\pi }{2})$，而正切函数 $y=\tan x$ 在 $[0,\frac{\pi }{2})$ 上是单调递增的。

所以有：$\mathbf{\alpha }⩽\mathbf{\beta }⩽\mathbf{\gamma }$。

故选：A．

本题是一道非常经典的立体几何概念与几何逻辑推理相融合的好题。

题目不仅要求考生对线线角、线面角、面面角的定义有极其清晰的认识，能够熟练地在图形中找到（或作出）这些角；同时，还巧妙地借用了平面几何中最基本的不等关系（垂线段最短、斜边大于直角边）来完成角度大小的比较。这种“无需强行建系硬算，而是回归几何本源图形性质”的解法，极大地体现了数学的几何直观之美。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 作角的基本套路（核心归纳）：

   • 线面角：找垂线，连射影。关键是找到斜线上某点到底面的垂足。

   • 面面角：作两平面的交线的垂线（最常用“三垂线定理”或其逆定理找平面角）。

2. 比较角大小的代数化转化：当涉及空间角大小比较时，直接观察往往存在视觉误差，最严谨的做法是将其放入直角三角形中，用三角函数（通常是正切或正弦）表示，将角的大小的比较转化为对应线段长度的比较。

3. 垂线段最短原理的应用：空间几何问题最终都可以简化处理，化归为平面几何问题。在同一个直角三角形中找斜边和直角边的大小关系，是高中几何比较大小问题的常见突破口。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2004-北京卷理-16 解-正三棱柱的几何性质与侧面展开图
• 2006-天津卷理-13 填-点到平面的距离
• 2008-浙江卷理-18