2022-浙江卷-10 单-递推数列

本题导读

本题考查递推数列，以及数列的单调性与有界性。

📌【题干】

Question

（2022年浙江卷） 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n-\frac{1}{3}{a}_n^2(n\in {\mathbf{N}}^{\ast })$，则()

A. $2<100a_{100}<\frac{5}{2}$　　　　　　　　　　　B. $\frac{5}{2}<100a_{100}<3$

C. $3<100a_{100}<\frac{7}{2}$　　　　　　　　　　　D. $\frac{7}{2}<100a_{100}<4$

🔍【思路分析】

破题导航

本题考查递推数列项的取值范围估计。

观察递推式 $a_{n+1}-a_n=-\frac{1}{3}{a}_n^2⩽0$，易知数列 $\{a_n\}$ 是单调递减的，且恒为正数。

对于形式为 $a_{n+1}=a_n-c\cdot a_n^2$ 的非线性递推式，**“取倒数法”**是寻找其通项范围的标准动作。

核心思路如下：

1. 构造倒数差：计算 $\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}$ 的表达式。

2. 寻找上界（对应 $a_n$ 的下界）：利用 $a_{n+1}<a_n$，将式子中的 $a_n^2$ 放大为 $a_n{a}_{n+1}$，从而得到 $\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}>\text{常数}$，累加后得到 $a_n$ 的上限。

3. 寻找下界（对应 $a_n$ 的上界）：将倒数差化简为 $\frac{1}{3-a_n}$，利用第2步求出的 $a_n$ 的上限，对 $\frac{1}{3-a_n}$ 进行放缩，再次累加，估算出 $a_n$ 的下限。

   最终代入 $n=100$，判断 $100a_{100}$ 所在的区间。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析数列的基本性质（正负性与单调性）

由已知 $a_1=1>0$。

假设 $a_n\in (0,3)$，则 $a_{n+1}=a_n(1-\frac{1}{3}{a}_n)>0$，且 $a_{n+1}=a_n-\frac{1}{3}{a}_n^2<a_n<3$。

因为 $a_1=1\in (0,3)$，由数学归纳法可知，对于任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，都有 $0<a_{n+1}<a_n<3$。

即数列 $\{a_n\}$ 是一项各项均为正数的严格单调递减数列。

第二步：第一次取倒数放缩，求 $a_n$ 的上限

由 $a_n-a_{n+1}=\frac{1}{3}{a}_n^2$，两边同除以 $a_n{a}_{n+1}$，得：

$\frac{a_n-a_{n+1}}{a_n{a}_{n+1}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{a_n^2}{a_n{a}_{n+1}}$

即：

$\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=\frac{1}{3}\cdot \frac{a_n}{a_{n+1}}$

因为 $\{a_n\}$ 单调递减，所以 $a_n>a_{n+1}$，故 $\frac{a_n}{a_{n+1}}>1$。

由此得到第一个关键的不等式放缩：

$\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}>\frac{1}{3}$

利用累加法，对于 $\frac{1}{a_n}$ 展开：

\frac{1}{a_n} = \left(\frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_{n-1}}\right) + \left(\frac{1}{a_{n-1}} - \frac{1}{a_{n-2}}\right) + \dots + \left(\frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_1}\right) + \frac{1}{a_1}$$$$\frac{1}{a_n} > \underbrace{\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{3}}_{n-1\text{ 个}} + \frac{1}{a_1}

因为 $a_1=1$，所以：

$\frac{1}{a_n}>\frac{1}{3}(n-1)+1=\frac{n+2}{3}$

取倒数，反号得 $a_n$ 的上限：

$a_n<\frac{3}{n+2}$

当 $n=100$ 时，$a_{100}<\frac{3}{102}$，所以 $100a_{100}<\frac{300}{102}=\frac{50}{17}\approx 2.94$。

显然 $100a_{100}<3$，据此可排除 C、D 选项。

第三步：第二次取倒数放缩，求 $a_n$ 的下限

回到倒数差的恒等变形。由 $a_{n+1}=a_n(1-\frac{1}{3}{a}_n)$ 可得：

$\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_n(1-\frac{1}{3}{a}_n)}-\frac{1}{a_n}=\frac{1-(1-\frac{1}{3}{a}_n)}{a_n(1-\frac{1}{3}{a}_n)}=\frac{\frac{1}{3}{a}_n}{a_n(1-\frac{1}{3}{a}_n)}=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}{a}_n}=\frac{1}{3-a_n}$

此时我们需要把分母变得更小，从而把整个分式放大。

利用第二步得到的结论 $a_n<\frac{3}{n+2}$，可得 $3-a_n>3-\frac{3}{n+2}=\frac{3n+3}{n+2}$。

因此：

$\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=\frac{1}{3-a_n}<\frac{n+2}{3n+3}=\frac{1}{3}\cdot \frac{(n+1)+1}{n+1}=\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)$

再次使用累加法：

\frac{1}{a_{100}} - \frac{1}{a_1} = \sum_{k=1}^{99} \left( \frac{1}{a_{k+1}} - \frac{1}{a_k} \right) < \sum_{k=1}^{99} \frac{1}{3} \left( 1 + \frac{1}{k+1} \right)$$$$\frac{1}{a_{100}} - 1 < \frac{1}{3} \times 99 + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{100} \right)$$$$\frac{1}{a_{100}} < 34 + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{100} \right)

接下来对调和级数部分进行粗略的放缩估计：

由于 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{7}$ 共 6 项，最大项为 $\frac{1}{2}$，所以这部分和 $<6\times \frac{1}{2}=3$；

同理，$\frac{1}{8}+\cdots +\frac{1}{100}$ 共 93 项，最大项为 $\frac{1}{8}$，所以这部分和 $<93\times \frac{1}{8}=11.625$。

因此：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{100}<3+11.625=14.625$。

代回原式：

$\frac{1}{a_{100}}<34+\frac{1}{3}\times 14.625=34+4.875=38.875<40$

既然 $\frac{1}{a_{100}}<40$，取倒数即得：

$a_{100}>\frac{1}{40}$

所以，

$100a_{100}>100\times \frac{1}{40}=\frac{5}{2}=2.5$

第四步：得出结论

综合第二步和第三步的结论，我们有：

$\frac{5}{2}<100a_{100}<\frac{50}{17}<3$

即 $100a_{100}\in (\frac{5}{2},3)$。

故选：B．

本题是一道区分度较高的高考压轴选择题。

考查了递推数列的单调性与有界性，对不等式的恒等变形和放缩技巧要求达到了竞赛初赛级别。难点在于考生是否能够熟练掌握**“取倒数找差分”**这一解决非线性递推式（如 Logistic 映射退化版）的标准范式，并且需要在一道题中连续完成两次方向相反的放缩操作，计算量和思维跨度都非常大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 递推数列 $a_{n+1}=a_n-c\cdot a_n^k(k>1)$ 的通用处理套路：

   遇到这类非线性项递推式，核心思路是将其线性化。最有效的手段就是对等式两边取倒数，研究数列 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ 的差分，即寻找 $\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}$ 的界限，再通过累加法求出 $\frac{1}{a_n}$ 的范围。

2. 放缩中的“因地制宜”：

   • 第一次放缩为了制造常数，利用 $a_n>a_{n+1}$，将分子分母里的高次项进行不等价替换（$a_n^2\to a_n{a}_{n+1}$）。

   • 第二次放缩为了利用已知上界，将式子配凑成 $\frac{1}{3-a_n}$ 的形式代入。

3. 调和级数的粗略放缩：

   在估算离散和 $S=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}$ 时，如果不需要太精确，可以将项划分为几大段，用每段的最大项乘以项数进行粗略放缩。例如本题中分为 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{8}$ 两个级别即可满足要求。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-江西卷理-05
• 2009-大纲卷I理-20
• 2010-湖南卷理-21