2023-北京卷-10 单-递推数列

本题导读

本题考查非线性递推数列，以及数列的单调性与有界性证明。

📌【题干】

Question

（2023年北京卷）已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=\frac{1}{4}(a_n-6{)}^3+6$ ($n=1,2,3,\cdots$)，则（　　）

A. 当 $a_1=3$ 时，$\{a_n\}$ 为递减数列，且存在常数 $M\le 0$，使得 $a_n>M$ 恒成立

B. 当 $a_1=5$ 时，$\{a_n\}$ 为递增数列，且存在常数 $M\le 6$，使得 $a_n<M$ 恒成立

C. 当 $a_1=7$ 时，$\{a_n\}$ 为递减数列，且存在常数 $M>6$，使得 $a_n>M$ 恒成立

D. 当 $a_1=9$ 时，$\{a_n\}$ 为递增数列，且存在常数 $M>0$，使得 $a_n<M$ 恒成立

🔍【思路分析】

破题导航

1. 构造辅助数列：令 $b_n=a_n-6$，则递推公式化为 $b_{n+1}=\frac{1}{4}{b}_n^3$。

2. 分析函数特征：研究函数 $f(x)=\frac{1}{4}{x}^3$ 与直线 $y=x$ 的交点。解 $\frac{1}{4}{x}^3=x$ 得 $x=0,\pm 2$。

   • 当 $|x|>2$ 时，$|f(x)|>|x|$，数列绝对值发散。

   • 当 $|x|<2$ 时，$|f(x)|<|x|$，数列绝对值趋向于 0（即 $a_n$ 趋向于 6）。

   • 当 $x=0,\pm 2$ 时，数列为常数列。

3. 逐项判定：

   • $a_1=3\Rightarrow b_1=-3$：$|-3|>2$ 且为负，数列向 $-\infty$ 发散，无下界。

   • $a_1=5\Rightarrow b_1=-1$：$|-1|<2$ 且为负，数列 $b_n$ 负向减小（绝对值变小），故 $a_n$ 递增趋向 6，有上界 6。

   • $a_1=7\Rightarrow b_1=1$：$|1|<2$ 且为正，数列 $b_n$ 正向减小，故 $a_n$ 递减趋向 6，无大于 6 的下界。

   • $a_1=9\Rightarrow b_1=3$：$|3|>2$ 且为正，数列向 $+\infty$ 发散，无上界。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

令 $b_n=a_n-6$，则 $b_{n+1}=\frac{1}{4}{b}_n^3$。

数列的单调性由 $b_{n+1}-b_n=\frac{1}{4}{b}_n^3-b_n=\frac{1}{4}{b}_n(b_n-2)(b_n+2)$ 决定。

对于 A 选项：

若 $a_1=3$，则 $b_1=-3$。

由于 $b_1<-2$，则 $b_2=\frac{1}{4}(-3{)}^3=-6.75<b_1$。

易证 $b_n$ 递减且 $b_n\to -\infty$。

因此 $a_n=b_n+6$ 递减且无下界。不存在 $M$ 使得 $a_n>M$ 恒成立。故 A 错误。

对于 B 选项：

若 $a_1=5$，则 $b_1=-1$。

由于 $-2<b_1<0$，根据 $b_{n+1}=\frac{1}{4}{b}_n^3$ 可知：

$-1\le b_n<0$ 恒成立（用数学归纳法易证）。

此时 $b_{n+1}-b_n=\frac{1}{4}{b}_n(b_n-2)(b_n+2)$，

因为 $b_n<0,b_n-2<0,b_n+2>0$，所以 $b_{n+1}-b_n>0$，$\{b_n\}$ 为递增数列。

则 $a_n$ 为递增数列，且 $b_n<0\Rightarrow a_n<6$。

取 $M=6$，满足 $a_n<M$ 恒成立。故 B 正确。

对于 C 选项：

若 $a_1=7$，则 $b_1=1$。

由于 $0<b_1<2$，同理可证 $0<b_n\le 1$ 且 $\{b_n\}$ 为递减数列。

$b_n$ 趋向于 0，即 $a_n$ 趋向于 6。

由于 $a_n$ 无限接近 6，不存在常数 $M>6$ 使得 $a_n>M$ 恒成立（根据极限定义，总会有项小于任何大于 6 的常数）。故 C 错误。

对于 D 选项：

若 $a_1=9$，则 $b_1=3$。

由于 $b_1>2$，则 $b_2=\frac{1}{4}(3{)}^3=6.75>b_1$。

$b_n$ 递增且 $b_n\to +\infty$。

因此 $a_n$ 递增且无上界。故 D 错误。

故选：B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：非线性高阶迭代递推数列的空间映射规律、通过作差因式分解判定数列单调变动趋势、发散与收敛状态下数列有界性边界的精确控制。
2. 核心方法：不动点中心平移变换法、单峰区间符号代数判定法。
3. 避坑指南：

• 深陷代数展开泥潭：本题若直接针对 $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{4}(a_n-6{)}^3+6-a_n$ 强行做多项式展开，会产生高阶非对称的多项式，在考场极有限时间内极易算崩。应敏锐捕捉到两侧的“$6$”，通过平移变量换元，是打通本题运算能力的核心关键。
• 混淆“上界边界”与“极限值”的开放性（最易错选 C）：C 选项极具欺骗性。虽然 $a_n$ 确实单调递减，且对任意项都有 $a_n>6$。但是题目要求的是“存在常数 $M>6$”。由极限思维， $a_n$ 可以做到 $6.00001$，从而超越并击穿任何大于 6 的固定边界。理解“有界”不等式中临界点的开闭状态是避开压轴题陷阱的高级素养。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题具有纯正、深刻的高等数学拓扑动力系统（Topological Dynamical Systems）与一维非线性映射离散迭代背景，在工程及经济数学中同样作为蛛网模型（Cobweb model）的经典骨架出现。其代数迭代过程本质是考查立方迭代映射 $f(x)=k{x}^3$ 的不动点稳定性（Stability of Fixed Points）。

在高等数学中，满足 $f(x)=x$ 的点称为不动点，而满足 $|f^{\prime }(x)|<1$ 的点称为稳定吸引子（Attractor）。本题通过平移后的 $f(b)=\frac{1}{4}{b}^3$，其导数 $f^{\prime }(b)=\frac{3}{4}{b}^2$。在稳定点 $b=0$ 处， $|f^{\prime }(0)|=0<1$，因原点是强吸引点，导致落在 $(-2,2)$ 内部的轨迹（如 B、C 选项）全部向其收缩；而在边界点 $b=\pm 2$ 处， $|f^{\prime }(\pm 2)|=3>1$，成为排斥子（Repeller），导致落在外部的轨迹（如 A、D 选项）彻底发散。

2. 结论推广： 对于更为通用的高阶非线性分式或多项式递推数列 $a_{n+1}=\frac{1}{p}(a_n-c{)}^m+c(p>0,m⩾2\text{ 且为奇数})$。 通过平移代换 $b_n=a_n-c$，其核心动力学分界点（临界常数列边界）恒满足方程 $\frac{1}{p}{b}^m=b$ 的根： $b=0\text{或}b=\pm \sqrt[m-1]{p}$

• 当初始偏差 $|a_1-c|<\sqrt[m-1]{p}$ 时，数列表现为向中心常数 $c$ 向心收敛，数列必有界；
• 当初始偏差 $|a_1-c|>\sqrt[m-1]{p}$ 时，数列表现为背离中心常数 $c$ 离心发散，数列必无界。 该推广结论揭示了非线性迭代体系中，物理轨道由内部吸引向外部排斥发生相变、导致数列发散或收敛的刚性数学机理。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2022-浙江卷-10 单-递推数列
• 2002-上海卷理-11 填-非线性递推数列
• 2002-北京卷理-19 解-基本不等式