2022-浙江卷-12 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及多项式展开。

📌【题干】

Question

（2022年浙江卷） 已知多项式 $(x+2)(x-1{)}^4=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+a_5{x}^5$，则 $a_2=$ $\underline{}$，$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

本题包含两个设问，对应多项式展开的两大核心考向：

1. 求特定项系数（求 $a_2$）：这属于“微观”计算。因为式子是由一次式 $(x+2)$ 和四次式 $(x-1{)}^4$ 相乘得到，所以展开后的二次项 $x^2$，必然是由 $(x+2)$ 中的一次项去乘 $(x-1{)}^4$ 中的一次项，或者由常数项去乘 $(x-1{)}^4$ 中的二次项组合而成。

2. 求系数之和（求 $a_1+\cdots +a_5$）：这属于“宏观”恒等变形。遇到求各项系数和的问题，**“赋值法”**是首选也是唯一高效的通解。通过令 $x=1$ 和 $x=0$，可以巧妙凑出所求的代数式。

✅【答案】

点击查看答案

8，$-2$

✍【详细解析】

Abstract

第一空：求 $a_2$（特定项系数）

【解法一】：二项式定理与组合原理（精确打击）

根据多项式乘法展开法则，等式左边产生 $x^2$ 项的路径只有两条：

• 路径一：前半部分取 $x$，后半部分 $(x-1{)}^4$ 取含 $x^1$ 的项。

  $(x-1{)}^4$ 展开式中含 $x^1$ 的项为：$C_4^3\cdot x^1\cdot (-1{)}^3=4\cdot x\cdot (-1)=-4x$

  相乘得到：$x\cdot (-4x)=-4x^2$

• 路径二：前半部分取常数 $2$，后半部分 $(x-1{)}^4$ 取含 $x^2$ 的项。

  $(x-1{)}^4$ 展开式中含 $x^2$ 的项为：$C_4^2\cdot x^2\cdot (-1{)}^2=6\cdot x^2\cdot 1=6x^2$

  相乘得到：$2\cdot 6x^2=12x^2$

合并这两条路径产生的项：$-4x^2+12x^2=8x^2$。

所以，$x^2$ 的系数 $a_2=8$。

【解法二】：直接展开法（适用于指数较小的情况）

由于 $(x-1{)}^4$ 的指数不高，直接利用杨辉三角或二项式定理将其完全展开：

$(x-1{)}^4=x^4-4x^3+6x^2-4x+1$

将其与 $(x+2)$ 相乘，我们只需“盯住”能产生 $x^2$ 的交叉相乘项：

$(x+2)(x^4-4x^3+6x^2-4x+1)$

从中挑选出产生二次项的部分：$x\cdot (-4x)+2\cdot (6x^2)=-4x^2+12x^2=8x^2$。

故 $a_2=8$。

第二空：求 $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$（部分系数和）

这是一个典型的“赋值法”问题。

令原多项式恒等式为 $f(x)$：

$f(x)=(x+2)(x-1{)}^4=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+a_5{x}^5$

第一步：求所有系数之和

令 $x=1$，代入等式两边：

左边 $=(1+2)(1-1{)}^4=3\times 0=0$

右边 $=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$

即：$a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=0$ （式①）

第二步：求常数项 $a_0$

观察式①，我们要想求 $a_1$ 到 $a_5$ 的和，必须把多余的 $a_0$ 剔除。如何单独求 $a_0$？

令 $x=0$，代入等式两边：

左边 $=(0+2)(0-1{)}^4=2\times 1=2$

右边 $=a_0+0+0+\cdots =a_0$

即：$a_0=2$

第三步：代入求解

将 $a_0=2$ 代入（式①）中：

$2+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=0$

移项可得：$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=-2$。

故答案为：8，$-2$。

在多项式或二项式展开的恒等式 $f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$ 中，**“赋值法”**是简化处理的神器。以下这套“连招”在高考中屡试不爽：

1. 求“常数项”：令 $x=0$

   $f(0)=a_0$

2. 求“所有各项系数之和”：令 $x=1$

   $f(1)=a_0+a_1+a_2+\cdots +a_n$

3. 求“正负交替系数之和”：令 $x=-1$

   $f(-1)=a_0-a_1+a_2-a_3+\cdots$

4. 求“偶数次项系数之和”：把 2 和 3 两式相加除以 2

   $\frac{f(1)+f(-1)}{2}=a_0+a_2+a_4+\cdots$

5. 求“奇数次项系数之和”：把 2 和 3 两式相减除以 2

   $\frac{f(1)-f(-1)}{2}=a_1+a_3+a_5+\cdots$

本题第二问正是巧妙利用了上述的第 1 条和第 2 条，通过做差得到了除了常数项以外的系数和。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

本题作为填空题的第2题（12题），难度适中，设计十分精巧。它没有出纯粹的单独一个二项式的展开，而是加上了一个一次项因式 $(x+2)$，这就要求学生不能死记硬背通项公式，而必须理解乘法分配律的本质。第二问的赋值法是高中代数的基本功，属于必得分项。

备考启示：对于二项式定理，务必掌握“微观提取特定项”和“宏观赋值求和”这“一微一宏”两套核心剑法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷理-11 填-二项式定理
• 1985-全国卷理-09
• 1995-全国卷理-06