2022-甲卷文-07 单-函数图象识别

本题导读

本题考查图象识别，以及奇偶性。

📌【题干】

Question

（2022年甲卷文） 函数 $y=(3^x-3^{-x})\cos x$ 在区间 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 的图象大致为()

🔍【思路分析】

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1. 判定函数的奇偶性：通过计算 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系，确定函数图象的对称性（关于原点对称还是关于 $y$ 轴对称），利用对称性排除部分不符合的选项。

2. 代入特殊值校验符号：在区间 $(0,\frac{\pi }{2})$ 内选取一个易于判断符号的特殊值（如 $x=1$），计算函数值 $f(1)$ 的正负，从而在剩余选项中唯一锁定正确图象。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

1. 判定函数的奇偶性：

设 $f(x)=(3^x-3^{-x})\cos x$，其定义域在 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 上关于原点对称．

计算 $f(-x)$：

f(-x) = (3^{-x} - 3^{-(-x)}) \cos(-x)$$$$f(-x) = (3^{-x} - 3^x) \cos x

提取负号：

$f(-x)=-(3^x-3^{-x})\cos x=-f(x)$

故函数 $f(x)$ 为奇函数．

奇函数的图象应关于坐标原点对称，据此可排除图象关于 $y$ 轴对称的选项（通常为 B、D 选项）．

2. 利用特殊值确定图象走向：

在区间 $(0,\frac{\pi }{2})$ 内取特殊值 $x=1$．

$f(1)=(3^1-3^{-1})\cos 1=\left(3-\frac{1}{3}\right)\cos 1=\frac{8}{3}\cos 1$

因为 $1$ 弧度位于区间 $(0,\frac{\pi }{2})$（即 $0<1<1.57$），此时 $\cos 1>0$．

且 $\frac{8}{3}>0$，所以 $f(1)>0$．

这说明在 $y$ 轴右侧靠近原点的区域，函数图象应位于 $x$ 轴上方．

据此可排除在该区间函数值为负的选项（通常为 C 选项）．

3. 结论：

结合奇函数对称性与局部正负号，唯有选项 A 符合图象特征．

故选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：处理“图象识别”题的标准流程是**“一定定义域，二看奇偶性，三看特殊值/单调性/极限”**。

• 规律总结：

  1. $y=a^x-a^{-x}$ 是一种极常见的奇函数模型；$y=\cos x$ 是偶函数。根据“奇 $\times$ 偶 $=$ 奇”，可以直接判定原函数为奇函数。

  2. 对于包含三角函数的复合图象，利用 $x=1$ 这类弧度制常数判断正负是非常好用的“杀手锏”。

• 避坑指南：

  • 弧度制陷阱：在计算 $f(1)$ 判定符号时，千万不要把 $\cos 1$ 里的 $1$ 当作角度制（$1^{\circ }$）。$1$ 弧度大约是 $57.3^{\circ }$，它显然落在第一象限，因此余弦值为正。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2011-山东卷文-10 单-函数图象识别
• 2013-大纲卷理-12 单-三角函数对称性与最值
• 2013-山东卷理-03 单-函数奇偶性