2022-甲卷文-10 单-圆锥侧面积体积

本题导读

本题考查侧面展开图，以及体积与表面积。

📌【题干】

Question

（2022年甲卷文） 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 $2\pi$，侧面积分别为 $S_1$ 和 $S_2$，体积分别为 $V_1$ 和 $V_2$．若 $\frac{S_1}{S_2}=2$，则 $\frac{V_1}{V_2}=$ ()

A. $\sqrt{5}$　　　　　　B. $2\sqrt{2}$　　　　　　C. $\sqrt{10}$　　　　　　D. $\frac{5\sqrt{10}}{4}$

🔍【思路分析】

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1. 建立侧面积与底面半径的比例：已知两个圆锥的母线长 $l$ 相等，由圆锥侧面积公式 $S=\pi rl$ 可知，侧面积之比就等于底面半径之比，即 $r_1:r_2=2:1$。

2. 挖掘“圆心角之和为 $2\pi$”的几何意义：两个圆锥的侧面展开图均为扇形，由于它们母线长相等且圆心角之和为 $2\pi$，这两个扇形刚好可以拼成一个半径为 $l$ 的完整圆。因此，这两个圆锥的底面周长之和等于这个大圆的周长，即 $2\pi r_1+2\pi r_2=2\pi l⟹r_1+r_2=l$。

3. 运用特值法求高：结合 $r_1=2r_2$ 与 $r_1+r_2=l$，可以赋值令母线长 $l=3$，则 $r_1=2,r_2=1$。利用勾股定理求出各自的高 $h_1,h_2$。

4. 计算体积比：代入圆锥体积公式 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ 计算比值即可。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

1. 确定底面半径的比例关系：

设甲、乙两个圆锥的母线长均为 $l$，底面半径分别为 $r_1,r_2$。

根据圆锥侧面积公式 $S=\pi rl$：

$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\pi r_{1}l}{\pi r_{2}l}=\frac{r_1}{r_2}$

已知 $\frac{S_1}{S_2}=2$，所以 $r_1=2r_2$。

2. 建立母线与底面半径的等量关系：

设甲、乙圆锥侧面展开扇形的圆心角分别为 ${\theta }_1,{\theta }_2$。

则两圆锥底面圆的周长分别为：$C_1=l{\theta }_1=2\pi r_1$，$C_2=l{\theta }_2=2\pi r_2$。

已知 ${\theta }_1+{\theta }_2=2\pi$，故两底面周长之和为：

$2\pi r_1+2\pi r_2=l({\theta }_1+{\theta }_2)=l(2\pi )$

约去 $2\pi$ 得：$r_1+r_2=l$。

3. 运用特值法求几何量：

由于题目所求为比值，几何体的大小随比例缩放不影响结果，故采用特值法（赋值法）：

结合 $r_1=2r_2$ 与 $r_1+r_2=l$，不妨令母线长 $l=3$。

则解得：$r_1=2$，$r_2=1$。

4. 求两圆锥的高：

根据圆锥的轴截面勾股定理 $h=\sqrt{l^2-r^2}$：

甲圆锥的高：$h_1=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$。

乙圆锥的高：$h_2=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{9-1}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。

5. 计算体积之比：

根据圆锥体积公式 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$：

$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{1}{3}\pi r_1^2{h}_1}{\frac{1}{3}\pi r_2^2{h}_2}=\frac{r_1^2\cdot h_1}{r_2^2\cdot h_2}$

代入数据：

$\frac{V_1}{V_2}=\frac{2^2\cdot \sqrt{5}}{1^2\cdot 2\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

分母有理化：

$\frac{V_1}{V_2}=\frac{2\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}}{(\sqrt{2}{)}^2}=\frac{2\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}$

6. 结论：

对应选项 C 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 圆心角之和为 $2\pi$ 的几何翻译：看到这个条件，应迅速联想到两个展开图可以**“拼成一个完整的圆”**，进而得出两个底面的周长之和恰好等于以母线为半径的大圆周长，即 $r_1+r_2=l$。

  2. 特值法（赋值法）：在求解仅涉及比例的几何题时，只要各边长符合已知的线性比例关系，直接给基础变量赋予便于计算的整数值（如本题令 $l=3$）能极大地避免复杂的代数分式运算。

• 规律总结：对于同母线长的两个圆锥，如果侧面积之比为 $k$，则底面半径之比为 $k$。

• 避坑指南：体积比公式中半径是平方项，高度是一次方项（即 $\frac{r_1^2{h}_1}{r_2^2{h}_2}$），不要顺手将底面半径的比例直接作为面积比例代入导致漏平方。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷理-08 单-体积公式
• 2010-湖北卷文-14 填-圆柱内切球体积
• 2014-上海卷文-19 解-正四面体展开