2022-甲卷文-12 单-比较大小

本题导读

本题考查利用函数单调性比较大小，以及指数函数与对数运算。

📌【题干】

Question

（2022年甲卷文） 已知 $9^m=10$，$a=10^m-11$，$b=8^m-9$，则 ()

A. $a>0>b$　　B. $a>b>0$　　C. $b>a>0$　　D. $b>0>a$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $9^m=10$ 可知 $9^m-9-1=0$，将 $a,b$ 的结构统一变形为 $x^m-x-1$ 的形式。
2. 构造辅助函数 $f(x)=x^m-x-1$，利用导数判断 $f(x)$ 在 $x\ge 1$ 上的单调性。
3. 由 $8<9<10$ 结合单调性得出 $f(8)<f(9)<f(10)$，进而确定 $a$ 与 $b$ 的正负关系。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $9^m=10$，且 $9^1=9<10$，所以 $m={\log }_{9}10>1$。

构造函数 $f(x)=x^m-x-1(x\ge 1)$。 对 $f(x)$ 求导得： $f^{\prime }(x)=m{x}^{m-1}-1$

因为 $m>1$，当 $x\ge 1$ 时，$x^{m-1}\ge 1$，故 $f^{\prime }(x)\ge m-1>0$。 因此，函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上严格单调递增。

注意到： $f(9)=9^m-9-1=10-10=0$ $f(10)=10^m-10-1=10^m-11=a$ $f(8)=8^m-8-1=8^m-9=b$

因为 $8<9<10$，由 $f(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上的单调递增性可知： $f(8)<f(9)<f(10)$ 即 $b<0<a$，亦即 $a>0>b$。

故选：A

🎯 【考点归纳与避坑指南】

1. 核心考点：构造函数比较大小，利用导数证明函数的单调性。
2. 核心方法：观察式子结构同构性（$8^m-9=8^m-8-1$，$9^m-10=9^m-9-1$，$10^m-11=10^m-10-1$），抽象出辅助函数 $f(x)=x^m-x-1$。
3. 避坑指南：避免直接估算 $m$ 的近似值进行繁琐计算；注意验证 $m>1$ 是保证 $f^{\prime }(x)>0$ 的关键的前提条件。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2008-湖南卷文-06 单-对数值比较大小
• 1999-全国卷理-22 解-冷轧机的数列模型
• 2008-天津卷文-10 单-对数方程值域条件