2008-天津卷文-10 单-对数方程值域条件

本题导读

考查对数方程与值域。$y=\frac{a^3}{x}$ 在 $[a,2a]$ 递减，值域 $\left[\frac{a^2}{2},a^2\right]$，落入 $[a,a^2]$ 需 $\frac{a^2}{2}⩾a$，即 $a⩾2$，选 B。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(文)） 设 $a>1$，若对于任意的 $x\in [a,2a]$，都有 $y\in [a,a^2]$ 满足方程 ${\log }_{a}x+{\log }_{a}y=3$，这时 $a$ 的取值的集合为()

A. $\{a\mid 1<a⩽2\}$　　　　B. $\{a\mid a⩾2\}$　　　　C. $\{a\mid 2⩽a⩽3\}$　　　　D. $\{2,3\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. ${\log }_{a}x+{\log }_{a}y=3\Rightarrow {\log }_a(xy)=3\Rightarrow xy=a^3$，即 $y=\frac{a^3}{x}$。
2. $x\in [a,2a]$ 时 $y=\frac{a^3}{x}$ 单调递减，值域为 $\left[\frac{a^3}{2a},\frac{a^3}{a}\right]=\left[\frac{a^2}{2},a^2\right]$。
3. “都有 $y\in [a,a^2]$“即值域 $\left[\frac{a^2}{2},a^2\right]\subseteq [a,a^2]$：上端 $a^2⩽a^2$ 自动成立；下端需 $\frac{a^2}{2}⩾a$。
4. $a>1$，$\frac{a^2}{2}⩾a⟺a⩾2$。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

由 ${\log }_{a}x+{\log }_{a}y=3$，得 ${\log }_a(xy)=3$，即 $xy=a^3,y=\frac{a^3}{x}.$ 当 $x\in [a,2a]$（$a>1$）时，$y=\frac{a^3}{x}$ 单调递减，其值域为 $\left[\frac{a^3}{2a},\frac{a^3}{a}\right]=\left[\frac{a^2}{2},a^2\right].$ 条件”对于任意的 $x\in [a,2a]$，都有 $y\in [a,a^2]$“等价于 $\left[\frac{a^2}{2},a^2\right]\subseteq [a,a^2].$ 右端点 $a^2=a^2$ 自动满足；左端点需 $\frac{a^2}{2}⩾a$，即 $a^2⩾2a$. 又 $a>1$，两边除以 $a$ 得 $a⩾2$. 所以 $a$ 的取值的集合为 $\{a\mid a⩾2\}$. 故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数方程与值域包含

核心方法：$y=\frac{a^3}{x}$ 在 $[a,2a]$ 的值域 $\left[\frac{a^2}{2},a^2\right]\subseteq [a,a^2]⟺a⩾2$

避坑指南：“对于任意的 $x$ 都有 $y\in [a,a^2]$“即值域包含于区间；单调函数的值域端点化后变成两个不等式，一个自动成立、一个给出 $a⩾2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“值域包含于给定区间”是函数与不等式的交叉题，2009 天津文第 9 题、2010 上海文第 17 题同型。

结论推广：${\log }_{a}x+{\log }_{a}y={\log }_a(xy)$；$\frac{a^3}{x}$ 在 $a>1$、$x>0$ 时递减。

方法推广：把”都有”翻译成集合包含是破题关键；上端点 $a^2⩽a^2$ 恰好取等——别误以为还要严格小于。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-09 单-指数对数互化最值
• 2010-上海卷文-17 单-对数方程零点区间
• 2010-山东卷文-03 单-对数函数值域
• 2010-广东卷文-02 单-对数函数定义域