2022-甲卷文-17 解-独立性检验

本题导读

本题考查频率估计概率。核心在于样本频率估计总体概率、卡方检验公式计算法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年甲卷文） 甲、乙两城之间的长途客车均由 $A$ 和 $B$ 两家公司运营. 为了了解这两家公司长途客车的运行情况, 随机调查了甲、乙两城之间的 500 个班次, 得到下面列联表:

$$\begin{array}{ccc}& \text{准点班次数}& \text{未准点班次数}\\ A& 240& 20\\ B& 210& 30\end{array}$$

(1) 根据上表, 分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;

(2) 能否有 $90\%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?

附: $K^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$$\begin{array}{cccc}P(K^2\ge k)& 0.100& 0.050& 0.010\\ k& 2.706& 3.841& 6.635\end{array}$$

🔍【思路分析】

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1. (1) 小题分别计算 $A,B$ 两家公司班次总数及准点班次数，用频率作为概率的估计值。
2. (2) 小题利用列联表数据代入 $K^2$ 计算公式求出卡方统计量的值，并与临界值 $2.706$ 比较得出结论。

✅【答案】

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$K^2\approx 3.205>2.706$，有 $90\%$ 的把握认为有关

✍【详细解析】

Abstract

解： (1) 由表可知： $A$ 公司调查的总班次为 $240+20=260$，其中准点班次为 $240$。 故 $A$ 公司长途客车准点的概率估计值为： $P_A=\frac{240}{260}=\frac{12}{13}$

$B$ 公司调查的总班次为 $210+30=240$，其中准点班次为 $210$。 故 $B$ 公司长途客车准点的概率估计值为： $P_B=\frac{210}{240}=\frac{7}{8}$

(2) 根据列联表数据，$n=500$，$a=240$，$b=20$，$c=210$，$d=30$。 计算 $K^2$：

$$\begin{array}{rl}{K}^2& =\frac{500\times (240\times 30-20\times 210{)}^2}{(240+20)(210+30)(240+210)(20+30)}\\ & =\frac{500\times (7200-4200{)}^2}{260\times 240\times 450\times 50}\\ & =\frac{500\times 3000^2}{260\times 240\times 450\times 50}\\ & =\frac{125}{39}\approx 3.205\end{array}$$

因为 $K^2\approx 3.205>2.706$， 所以有 $90\%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关。

🎯 【考点归纳与避坑指南】

1. 核心考点：利用样本频率估计总体概率，独立性检验中卡方值 $K^2$ 的计算与假设检验结论的判定。
2. 核心方法：公式法代入，将计算结果与附表中的临界值 $k$ 对比判断。
3. 避坑指南：计算 $K^2$ 时因数字较大易发生计算失误，建议先进行约分再计算；回答“是否有 $90\%$ 把握”时要准确对应临界值 $2.706$（对应 $P=0.100$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 24.02 独立性检验与 2X2 列联表

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷理-06 单-卡方统计量 chi^2
• 2009-辽宁卷文-20 解-独立性检验优质品率
• 2010-新课标卷文-19 解-独立性检验