2022-甲卷文-19 解-立几综合

本题导读

本题考查线面平行的判定定理。核心在于几何分割法、线面平行判定法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年甲卷文） 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒. 包装盒如图所示：底面 $ABCD$ 是边长为 $8\text{ (cm)}$ 的正方形，$\Delta EAB,\Delta FBC,\Delta GCD,\Delta HDA$ 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 $ABCD$ 垂直.

(1) 证明：$EF//\text{平面 }ABCD$；

(2) 求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 小题取 $AB,BC$ 的中点 $M,N$，利用面面垂直的性质定理推出 $EM\perp \text{平面 }ABCD$ 与 $FN\perp \text{平面 }ABCD$，进而得到 $EM//FN$ 且 $EM=FN$，证明四边形 $EMNF$ 为平行四边形，得到 $EF//MN$，即可证得线面平行。
2. (2) 小题将包装盒分割为一个中心直四棱柱 $EFGH-MNPQ$ 和四个相同的顶点四棱锥（如 $B-EMNF$），分别求出各部分的体积并相加。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $V=\frac{640\sqrt{3}}{3}c{m}^3$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 取 $AB,BC$ 的中点分别为 $M,N$，连接 $EM,FN,MN$。 在正三角形 $\Delta EAB$ 中，$EM\perp AB$，且 $EM=8\times \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\text{ cm}$。 因为平面 $EAB\perp \text{平面 }ABCD$，且平面 $EAB\cap \text{平面 }ABCD=AB$， 所以 $EM\perp \text{平面 }ABCD$。

同理，在正三角形 $\Delta FBC$ 中，$FN\perp BC$，$FN=4\sqrt{3}\text{ cm}$，且 $FN\perp \text{平面 }ABCD$。

因为 $EM\perp \text{平面 }ABCD$ 且 $FN\perp \text{平面 }ABCD$， 所以 $EM//FN$。又 $EM=FN=4\sqrt{3}\text{ cm}$， 所以四边形 $EMNF$ 为平行四边形，故 $EF//MN$。

又因为 $EF\not\subset \text{平面 }ABCD$，$MN\subset \text{平面 }ABCD$， 所以 $EF//\text{平面 }ABCD$。

(2) 解： 分别取 $CD,DA$ 的中点 $P,Q$，由 (1) 同理可得： $GP\perp \text{平面 }ABCD$，$HQ\perp \text{平面 }ABCD$，且 $EM=FN=GP=HQ=4\sqrt{3}\text{ cm}$。 因此，多面体 $EFGH-MNPQ$ 为直四棱柱。

在正方形 $ABCD$ 中，$M,N,P,Q$ 分别为各边中点， 则 $MNPQ$ 为正方形，边长 $MN=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\text{ cm}$。 底面积 $S_{MNPQ}=(4\sqrt{2}{)}^2=32{\text{ cm}}^2$。 故直四棱柱 $EFGH-MNPQ$ 的体积为： $V_{\text{柱}}=S_{MNPQ}\times EM=32\times 4\sqrt{3}=128\sqrt{3}{\text{ cm}}^3$

包装盒其余部分由 4 个全等的四棱锥组成，以四棱锥 $B-EMNF$ 为例： 底面 $EMNF$ 为矩形，边长 $MN=4\sqrt{2}\text{ cm}$，$EM=4\sqrt{3}\text{ cm}$， 面积 $S_{EMNF}=4\sqrt{2}\times 4\sqrt{3}=16\sqrt{6}{\text{ cm}}^2$。 因为平面 $EMNF\perp \text{平面 }ABCD$，顶点 $B$ 到平面 $EMNF$ 的距离即为等腰直角三角形 $\Delta BMN$ 中斜边 $MN$ 上的高： $h_1=\frac{4\times 4}{4\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\text{ cm}$

故四棱锥 $B-EMNF$ 的体积为： $V_1=\frac{1}{3}\times S_{EMNF}\times h_1=\frac{1}{3}\times 16\sqrt{6}\times 2\sqrt{2}=\frac{64\sqrt{3}}{3}{\text{ cm}}^3$

因此，包装盒的总体积为： $V=V_{\text{柱}}+4V_1=128\sqrt{3}+4\times \frac{64\sqrt{3}}{3}=\frac{640\sqrt{3}}{3}{\text{ cm}}^3$

答：该包装盒的容积为 $\frac{640\sqrt{3}}{3}{\text{ cm}}^3$。

🎯 【考点归纳与避坑指南】

1. 核心考点：面面垂直的性质定理（垂直于交线则垂直于底面）、线面平行的判定定理以及复杂多面体体积的分拆。
2. 核心方法：采用“几何分割法”，将不规则多面体分割为一个规则直四棱柱和四个侧向四棱锥。
3. 避坑指南：第 (2) 问切忌盲目套用台体体积公式，需明确包装盒不是棱台；求四棱锥高时需找准点到平面的距离。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2004-浙江理-19 解-面面垂直的性质定理
• 2009-山东卷文-18 解-线面平行与面面垂直
• 江苏卷-15 解-立体几何综合