2009-山东卷文-18 解-线面平行与面面垂直

本题导读

考查线面平行与面面垂直。(1) 把 $E E_{1}$ 分解为平面 $F C C_{1}$ 内两向量之组合；(2) 等腰梯形中 $A C ⊥ B C$ ，又 $C C_{1} ⊥ A C$ ，故 $A C ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ 。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(文)）如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为等腰梯形， $A B ∥ C D$ ， $A B = 4$ ， $B C = C D = 2$ ， $A A_{1} = 2$ ， $E$ ， $E_{1}$ 分别是棱 $A D$ ， $A A_{1}$ 的中点.

(1)设 $F$ 是棱 $A B$ 的中点，证明：直线 $E E_{1} ∥$ 平面 $F C C_{1}$ ；

(2)证明：平面 $D_{1} A C ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ .

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 建系： $A (0, 0, 0)$ ， $B (4, 0, 0)$ ， $D (1, 3, 0)$ ， $C (3, 3, 0)$ ， $A_{1} (0, 0, 2)$ 。

$E (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 0)$ ， $E_{1} (0, 0, 1)$ ， $F (2, 0, 0)$ ： $E E_{1} = (- \frac{1}{2}, - \frac{3}{2}, 1)$ 。

$F C = (1, 3, 0)$ ， $C C_{1} = (0, 0, 2)$ ，验算 $- \frac{1}{2} F C + \frac{1}{2} C C_{1} = (- \frac{1}{2}, - \frac{3}{2}, 1) = E E_{1}$ 。

故 $E E_{1}$ 平行于平面 $F C C_{1}$ 内的向量组合；再验 $E$ 不在平面内（ $F E$ 与平面法向量 $F C \times C C_{1}$ 的数量积不为 $0$ ），得线面平行。

(2) 等腰梯形两腰 $B C = A D = 2$ ，底差 $A B - C D = 2$ ，半差 $1$ ，高 $2^{2} - 1^{2} = 3$ 。

$A C = (3, 3, 0)$ ， $B C = (- 1, 3, 0)$ ，数量积 $- 3 + 3 = 0$ ，即 $A C ⊥ B C$ 。

直棱柱中 $C C_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ ，故 $C C_{1} ⊥ A C$ 。

$A C$ 垂直于平面 $B B_{1} C_{1} C$ 内两条相交直线 $B C$ ， $C C_{1}$ ，故 $A C ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ，而 $A C \subset$ 平面 $D_{1} A C$ ，得面面垂直。

✅【答案】

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证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）因为 $A B = 4$ ， $C D = 2$ ，两腰 $B C = A D = 2$ ，底边之差的一半为 $1$ ，所以梯形的高为 $2^{2} - 1^{2} = 3$ 。以 $A$ 为原点， $A B$ ， $A D$ 所在水平方向与 $A A_{1}$ 方向建系： $A (0, 0, 0)$ ， $B (4, 0, 0)$ ， $D (1, 3, 0)$ ， $C (3, 3, 0)$ ， $A_{1} (0, 0, 2)$ 。于是 $E (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 0)$ ， $E_{1} (0, 0, 1)$ ， $F (2, 0, 0)$ ， $C_{1} (3, 3, 2)$ 。 $E E_{1} = (- \frac{1}{2}, - \frac{3}{2}, 1)$ ， $F C = (1, 3, 0)$ ， $C C_{1} = (0, 0, 2)$ 。验算得 $- \frac{1}{2} F C + \frac{1}{2} C C_{1} = (- \frac{1}{2}, - \frac{3}{2}, 1) = E E_{1}$ 。即 $E E_{1}$ 可表示为平面 $F C C_{1}$ 内两个不共线向量的线性组合，故 $E E_{1} ∥$ 平面 $F C C_{1}$ 或 $E E_{1} \subset$ 平面 $F C C_{1}$ 。取平面 $F C C_{1}$ 的法向量 $n = F C \times C C_{1} = 2 (3, - 1, 0)$ ，而 $F E = (- \frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 0)$ ， $F E \cdot n = - 43 \neq = 0$ ，故 $E \in /$ 平面 $F C C_{1}$ 。所以直线 $E E_{1} ∥$ 平面 $F C C_{1}$ 。（2） $A C = (3, 3, 0)$ ， $B C = (- 1, 3, 0)$ ， $A C \cdot B C = - 3 + 3 = 0$ ，即 $A C ⊥ B C$ 。在直四棱柱中 $C C_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ ，所以 $C C_{1} ⊥ A C$ 。又 $B C \cap C C_{1} = C$ ，故 $A C ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ 。因为 $A C \subset$ 平面 $D_{1} A C$ ，所以平面 $D_{1} A C ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行与面面垂直

核心方法：向量分解证线面平行；找面内垂线证面面垂直

避坑指南： $E E_{1} = - \frac{1}{2} F C + \frac{1}{2} C C_{1}$ 说明方向向量落在平面内； $A C ⊥ B C$ （数量积 $0$ ）加 $C C_{1} ⊥ A C$ 得 $A C ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ 。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等腰梯形的高 $2^{2} - 1^{2} = 3$ 由”底差的一半”与腰构造直角三角形得到。

结论推广：线面平行的向量判别要补”点不在面内”，常用法向量与 $F E$ 的数量积非零来说明。

方法推广：证面面垂直优先在其中一个面内找两条”现成”的垂线：底面内的对角线垂直与侧棱垂直。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

13.03 空间点、线、面位置关系

13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练 (Links)

2009-北京卷文-16 解-四棱锥面面垂直

2009-大纲卷II文-19 解-直三棱柱线面角

2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角

2009-上海卷文-05 填-正四棱柱异面直线角

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2009-山东卷文-18 解-线面平行与面面垂直

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