2022-甲卷理-03 单-集合运算

本题导读

本题考查并集，以及补集。

📌【题干】

Question

（2022年甲卷理） 设全集 $U=\{-2,-1,0,1,2,3\}$，集合 $A=\{-1,2\}$，$B=\{x\mid x^2-4x+3=0\}$，则 ${\complement }_U(A\cup B)=$ ()

A. $\{1,3\}$　　　　　B. $\{0,3\}$　　　　　C. $\{-2,1\}$　　　　　D. $\{-2,0\}$

🔍【思路分析】

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1. 化简集合 $B$：集合 $B$ 是由一元二次方程的解构成的。首先求解方程 $x^2-4x+3=0$，写出集合 $B$ 的列举法表示。

2. 求并集 $A\cup B$：将集合 $A$ 的元素与集合 $B$ 的元素合并，注意集合元素的互异性，剔除重复元素。

3. 求补集：在全集 $U$ 中，找出不属于 $A\cup B$ 的所有元素，即为最终结果。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

1. 解方程化简集合 $B$：

已知集合 $B=\{x\mid x^2-4x+3=0\}$．

求解一元二次方程 $x^2-4x+3=0$：

因式分解得：$(x-1)(x-3)=0$

解得：$x=1$ 或 $x=3$．

故集合 $B$ 用列举法表示为：$B=\{1,3\}$．

2. 计算并集 $A\cup B$：

已知 $A=\{-1,2\}$，$B=\{1,3\}$．

将两集合元素合并，得：

$A\cup B=\{-1,1,2,3\}$

3. 计算补集 ${\complement }_U(A\cup B)$：

已知全集 $U=\{-2,-1,0,1,2,3\}$．

从全集 $U$ 中剔除属于 $A\cup B$ 的元素 $\{-1,1,2,3\}$：

剩下的元素为 $-2,0$．

故 ${\complement }_U(A\cup B)=\{-2,0\}$．

4. 结论：

对应选项 D 正确．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 化隐为显：处理集合题时，第一步永远是把描述法（如方程解集、不等式解集）转化为最直观的列举法或区间形式。

  2. 按序运算：遇到含有括号的集合混合运算，严格遵循“由内而外”的次序，先求括号内的并集，再求外面的补集。

• 规律总结：高考集合题通常以“方程/不等式求解 + 基本运算（交/并/补）”的组合模式出现，考查基础计算能力。

• 避坑指南：

  • 方程求解：在解 $x^2-4x+3=0$ 时，注意十字相乘法的符号，不要误解成 $x=-1$ 或 $x=-3$。

  • 漏看全集：求补集时，必须严格在题目给定的全集 $U$ 范围内寻找，不要习惯性地认为是全体验证实数集。本题中的 $0$ 是极其容易漏掉的元素。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-01 单-集合并集
• 2009-江西卷理-03
• 2011-天津卷文-04 单-充要条件判定