2023-上海卷-02 填-平面向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及平面向量的坐标表示与运算。

📌【题干】

Question

（2023年上海卷）若向量 $\vec{a}=(-2,3)$，$\vec{b}=(1,2)$，则 $\vec{a}\cdot \vec{b}=$ ______．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取坐标信息：识别已知向量的坐标分量，即 $x_1,y_1$ 与 $x_2,y_2$。

2. 应用公式：使用平面向量数量积的坐标运算公式 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$。

3. 计算结果：代入数值进行乘法与加法运算。

✅【答案】

点击查看答案

$4$

✍【详细解析】

Abstract

1. 列出公式： 设 $\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$，其数量积公式为：

   $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$

2. 代入数据： 将 $\overrightarrow{a}=(-2,3)$ 和 $\overrightarrow{b}=(1,2)$ 代入上述公式：

   $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=(-2)\times 1+3\times 2$

3. 完成计算：

   $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-2+6=4$

   故答案为：$4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量数量积的坐标表示方法与运算规则。
2. 核心方法：坐标代数运算法。
3. 避坑指南：在处理包含负数的坐标项（如本题中的 $x_1=-2$）时，进行乘法运算必须精准保留符号，切勿因粗心将 $(-2)\times 1$ 错算为 2，导致得出错误答案 8。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题作为上海高考数学卷填空题的第二题，属于考查向量代数运算最基本公式的送分基础题。
2. 结论推广：平面向量的坐标运算是几何问题代数化的重要工具。基于该公式，可进一步横向推广到其他核心结论：

• 向量模长公式：$|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$；
• 向量垂直的充要条件：$\vec{a}\perp \vec{b}⟺x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$；
• 向量夹角余弦公式：$\cos \theta =\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算