2023-上海卷-05 填-分段函数

本题导读

本题考查分段函数，以及指数函数及其性质。

📌【题干】

Question

（2023年上海卷）已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x⩽0\\ 2^x,& x>0\end{array}$，则函数 $f(x)$ 的值域为 ________．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确值域规则：分段函数的值域等于各分段区间上函数值域的并集。
2. 分段计算范围：

• 当 $x⩽0$ 时， $f(x)$ 为常数函数，直接提取输出值；
• 当 $x>0$ 时， $f(x)=2^x$ 为底数大于 1 的指数函数，利用单调性确定其取值范围。

3. 求并集：将上述两个部分所得的值域集合进行并集运算，得出总值域。

✅【答案】

点击查看答案

$[1,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求解第一段自变量区间的值域 当 $x⩽0$ 时，由解析式可知： $f(x)=1$ 此段函数值恒为常数 1，对应的值域集合为：$A=\{1\}$。

第二步：求解第二段自变量区间的值域 当 $x>0$ 时，解析式为： $f(x)=2^x$ 因为底数 $2>1$，底数大于 1 的指数函数 $y=2^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。 根据单调性，当 $x>0$ 时，有： $2^x>2^0⟹2^x>1$ 即 $f(x)\in (1,+\infty )$，对应的值域集合为：$B=(1,+\infty )$。

第三步：求各段值域的并集 整个函数 $f(x)$ 的值域为集合 $A$ 与集合 $B$ 的并集： $\text{值域}=A\cup B=\{1\}\cup (1,+\infty )=[1,+\infty )$

故答案为：$[1,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数整体值域的重组法则、指数函数的单调性及特殊点。
2. 核心方法：分段解析与区间合并法。
3. 避坑指南：

• 端点开闭陷阱：第二段计算得出 $f(x)>1$，不含等号；但第一段函数值恰好包含了 $f(x)=1$。两部分合并后，常数 1 填补了开区间的左侧空缺，因此最终答案的左侧边界必须写作闭区间符号“$[$”，若写成开区间 $(1,+\infty )$ 则判定为错。
• 集合与区间规范：值域需以集合或区间的形式作答，不能直接书写为不等式 $f(x)⩾1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题作为上海高考数学卷填空题前段的常规题型，重在考查函数基本要素（定义域、值域）的理解，难度较低。
2. 结论推广：处理分段函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{f}_1(x),& x\in D_1\\ f_2(x),& x\in D_2\end{array}$ 的相关性质时，通常遵循“分段治理”的核心策略。

• 整体值域：$C=f_1(D_1)\cup f_2(D_2)$；
• 整体单调性：若要求函数在全定义域上单调递增，除需满足 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 分别在其对应区间单调递增外，还必须满足边界交界处的临界值制约关系（即左侧区间的上确界小于或等于右侧区间的下确界）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2010-山东卷文-05 单-奇函数求值
• 2012-新课标卷文-11 单-指对恒成立
• 2013-北京卷文-13 填-分段函数值域