2023-乙卷文-04 单-正弦定理

本题导读

本题考查正弦定理，以及射影定理（第一余弦定理）。

📌【题干】

Question

（2023年乙卷文）记 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，若 $a\cos B-b\cos A=c$，且 $C=\frac{\pi }{5}$，则 $B=$（ ）

A. $\frac{\pi }{10}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{5}$　　　　　　　C. $\frac{3\pi }{10}$　　　　　　　D. $\frac{2\pi }{5}$

🔍【思路分析】

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1. 分析已知条件：已知边角混合方程 $a\cos B-b\cos A=c$。
2. 执行边角互化：

• 方法一（利用射影定理）：根据三角形射影定理恒有 $a\cos B+b\cos A=c$，将其与已知等式联立，可直接消去一项，求得 $\cos A=0$。
• 方法二（利用正弦定理）：将边 $a,b,c$ 替换为 $\sin A,\sin B,\sin C$，利用两角和与差的正弦公式化简方程，同样可求出 $\cos A=0$。

3. 求解目标角：由 $\cos A=0$ 确定角 $A$ 的度数，再结合已知角 $C$，利用 $A+B+C=\pi$ 算出角 $B$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解法一：利用射影定理（最优解） 在任意 $△ABC$ 中，由射影定理（第一余弦定理）恒有： $a\cos B+b\cos A=c\text{(1)}$

已知条件为： $a\cos B-b\cos A=c\text{(2)}$

将①式与②式相减（① - ②）得： $2b\cos A=0$

因为 $b$ 为 $△ABC$ 的边长，显见 $b>0$， 所以 $\cos A=0$。 因为 $A$ 为 $△ABC$ 的内角，即 $A\in (0,\pi )$， 所以 $A=\frac{\pi }{2}$。

根据三角形内角和定理 $A+B+C=\pi$，且已知 $C=\frac{\pi }{5}$，可得： $B=\pi -A-C=\pi -\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{5}=\frac{10\pi -5\pi -2\pi }{10}=\frac{3\pi }{10}$

故选：C。

解法二：利用正弦定理（边化角） 由正弦定理，将已知等式 $a\cos B-b\cos A=c$ 中的边长化为对应内角的正弦值： $\sin A\cos B-\sin B\cos A=\sin C$

等式左边利用两角差的正弦公式化简得： $\sin (A-B)=\sin C$

因为 $A+B+C=\pi$，所以 $C=\pi -(A+B)$， 则 $\sin C=\sin [\pi -(A+B)]=\sin (A+B)$。 代入上式得： $\sin (A-B)=\sin (A+B)$ $\sin A\cos B-\sin B\cos A=\sin A\cos B+\sin B\cos A$

移项合并同类项得： $2\sin B\cos A=0$

因为 $B$ 为 $△ABC$ 的内角，所以 $\sin B>0$。 两边同除以 $2\sin B$ 得： $\cos A=0⟹A=\frac{\pi }{2}$

以下通过内角和求角 $B$ 的步骤与解法一完全一致，解得 $B=\frac{3\pi }{10}$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理的边角互化应用、两角和差公式、射影定理。
2. 核心方法：边化角思想。通过正弦定理将边长的齐次式统一转化为角的三角函数关系式进行化简。
3. 避坑指南：

• 符号错误：解法二中展开 $\sin (A-B)$ 时需注意正负号，避免因粗心将减号错写成加号导致消错项。
• 通分失误：在最后一步利用 $\pi -\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{5}$ 计算角 $B$ 时，需准确找出公分母 10 进行通分，防止低级计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》中余弦定理与正弦定理的课后应用题。它通过对射影定理基本结构的微调（将加号变减号），考查考生对课本基础恒等式的熟悉程度。
2. 结论推广：

• 射影定理通用性：在平面几何中，第一余弦定理（射影定理）由三个恒等式组成： $a=b\cos C+c\cos B,b=a\cos C+c\cos A,c=a\cos B+b\cos A$
• 直角三角形模型：本题中推导得出 $A=\frac{\pi }{2}$，说明 $△ABC$ 为直角三角形。此时，已知条件 $a\cos B-b\cos A=c$ 可直接还原为直角三角形的几何边长关系：由于 $\cos A=0,\cos B=\frac{c}{a}$，代入即得 $a\cdot \frac{c}{a}-0=c⟹c=c$ 恒成立。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-18 解-正弦定理解三角形
• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2007-北京卷理-11 填-三角形内角定理