2011-大纲卷文-18 解-正弦定理解三角形

本题导读

本题考查正弦定理，以及余弦定理。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(文)） $△ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$．已知 $a\sin A+c\sin C-\sqrt{2}a\sin C=b\sin B$．

(1) 求 $B$；

(2) 若 $A=75^{\circ }$，$b=2$，求 $a$，$c$．

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：边化角用正弦定理
2. 步骤2：得 $\sin A\sin C[-2\cos (A+C)-\sqrt{2}]=0$
3. 步骤3：即 $B=45^{\circ }$
4. 步骤4：再用内角和与正弦定理求 $a,c$

✅【答案】

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(1) $B=45^{\circ }$

(2) $a=1+\sqrt{3}$，$c=\sqrt{6}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，原式化为

${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}C-\sqrt{2}\sin A\sin C={\sin }^{2}B$。

因 $B=\pi -(A+C)$，$\sin B=\sin (A+C)$，而 ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}C-{\sin }^2(A+C)=-2\sin A\sin C\cos (A+C)$，

故 $0=\sin A\sin C[-2\cos (A+C)-\sqrt{2}]$。$\sin A\sin C>0$，所以 $\cos (A+C)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。

$A+C=\pi -B$，$\cos (\pi -B)=-\cos B=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$B=\frac{\pi }{4}$，即 $45^{\circ }$。

(2) $C=180^{\circ }-75^{\circ }-45^{\circ }=60^{\circ }$。由正弦定理 $a=\frac{b\sin A}{\sin B}=\frac{2\sin 75^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}$。

$\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，故 $a=2\times \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\times \sqrt{2}=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}=1+\sqrt{3}$。

$c=\frac{b\sin C}{\sin B}=\frac{2\sin 60^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times \sqrt{2}=\sqrt{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理的边角互化；三角恒等式 ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}C-{\sin }^2(A+C)=-2\sin A\sin C\cos (A+C)$

核心方法：齐次式边化角：等式两边都是”边 $\times$ 正弦”结构时用 $a=2R\sin A$ 整体代换；再用因式分解提出公共项

避坑指南：边化角后要善用 $B=\pi -(A+C)$ 把 $\sin B$ 打开；直接用余弦定理化也可以，但计算量大；$\sin 75^{\circ }$ 的值必须用和角公式现算，数值记错会全错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形求角与求边与 2012-新课标卷文-17（正余弦定理解三角形）、2013-大纲卷文-18（解三角形求角）同族。

结论推广：推广：条件 $a\sin A+c\sin C-\lambda a\sin C=b\sin B$ 对应 $\cos B=\frac{\lambda }{2}$；记住 ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}C-2\sin A\sin C\cos (A+C)={\sin }^{2}B$ 这一内角恒等式可秒写角平分线类条件。

方法推广：解三角形大题：第(1)问”边角混排”等式优先边化角；第(2)问补足第三个内角后用正弦定理逐边求值，特殊角 $75^{\circ }$ 用 $45^{\circ }+30^{\circ }$ 拆。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.03 解三角形与解的个数判定
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-17 解-正余弦定理解三角形
• 2013-大纲卷文-18 解-解三角形求角
• 2012-浙江卷文-18 解-正余弦定理解三角形